F(x,t) Lösung der Gleichung?

Question

Text erkannt:

Man zeige \( F: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}_{+}^{*} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
$$ F(x, t):=t^{-n / 2} \exp \left\{-\frac{\|x\|^{2}}{4 t}\right\} $$
ist Lösung der Gleichung
$$ \Delta f(x, t)-\frac{\partial f(x, t)}{\partial t}=0 $$
Hinweis: Für \( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) ist \( \Delta f(x)=\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i}^{2}} \).

Problem/Ansatz:

Wie könnte ich hier vorgehen? Wie zeige ich, dass F(x,t) Lösung der untenstehenden Gleichung ist?

Comments

Wie könnte ich hier vorgehen?

Da bleibt nur die Ochsentour: Du musst F partiell nach t differenzieren und zweimal nach den Komponenten \(x_i\). Vielleicht hast Du aber auch Glück und Du findest hier einen Liebhaber ausführlicher Rechnungen. Würde ich allerdings nicht raten, falls Du jemals eine Klausur im Umfeld dieser Aufgabe schreiben musst. Du kannst natürlich Dein Rechenschritte hier posten und checken lassen.

Gruß Mathhilf

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist uns die Funktion$$F(\vec x;t)\coloneqq t^{-\frac{n}{2}}\cdot\exp\left(-\frac{\vec x^2}{4t}\right)= t^{-\frac{n}{2}}\cdot\exp\left(-\frac{x^2}{4t}\right)=F(x;t)$$Zur Bestimmung des Laplace-Operators benötigen wir folgende zwei Regeln:

(1) Wenn eine Funktion nur vom Betrag \(x=\|\vec x\|\) des Vektors abhängt, was hier der Fall ist, kann man den Gradienten sehr schnell bestimmen:$$\operatorname{grad}\varphi(x)=\varphi'(x)\cdot\vec x^0$$(2) Die Produktregel für die Divergenz lautet:$$\operatorname{div}(\varphi(\vec x)\cdot\vec A(\vec x))=\varphi(\vec x)\cdot\operatorname{div}\vec A(\vec x)+\vec A(\vec x)\cdot\operatorname{grad}\varphi(\vec x)$$

Damit ist die Rechnung nun schnell durchgeführt:$$\triangle F(\vec x;t)=\operatorname{div}\operatorname{grad}F(\vec x;t)\stackrel{(1)}{=}\operatorname{div}\left(t^{-\frac{n}{2}}\cdot\exp\left(-\frac{x^2}{4t}\right)\cdot\left(-\frac{2x}{4t}\right)\cdot\vec x^0\right)$$$$\phantom{\triangle F(\vec x;t)}=-\frac{t^{-\frac{n}{2}-1}}{2}\operatorname{div}\left(\exp\left(-\frac{x^2}{4t}\right)\cdot\vec x\right)$$$$\phantom{\triangle F(\vec x;t)}\stackrel{(2)}{=}-\frac{t^{-\frac{n}{2}-1}}{2}\left(\exp\left(-\frac{x^2}{4t}\right)\cdot\underbrace{\operatorname{div}(\vec x)}_{=n}+\vec x\cdot\operatorname{grad}\left(\exp\left(-\frac{x^2}{4t}\right)\right)\right)$$$$\phantom{\triangle F(\vec x;t)}\stackrel{(1)}{=}-\frac{t^{-\frac{n}{2}-1}}{2}\left(\exp\left(-\frac{x^2}{4t}\right)\cdot n+\vec x\cdot\left(\exp\left(-\frac{x^2}{4t}\right)\cdot\left(-\frac{2x}{4t}\right)\cdot\vec x^0\right)\right)$$$$\phantom{\triangle F(\vec x;t)}=-\frac{t^{-\frac{n}{2}-1}}{2}\left(\exp\left(-\frac{x^2}{4t}\right)\cdot n+\vec x\cdot\left(-\frac{\vec x}{2t}\exp\left(-\frac{x^2}{4t}\right)\right)\right)$$$$\phantom{\triangle F(\vec x;t)}=-\frac{t^{-\frac{n}{2}-1}}{2}\left(\exp\left(-\frac{x^2}{4t}\right)\cdot n-\frac{\vec x^2}{2t}\exp\left(-\frac{x^2}{4t}\right)\right)$$$$\phantom{\triangle F(\vec x;t)}=-\frac{t^{-\frac{n}{2}-1}}{2}\left(n-\frac{x^2}{2t}\right)\exp\left(-\frac{x^2}{4t}\right)$$

Die partielle Ableitung nach \(t\) ist einfach die Anwendung der Produktregel:$$\frac{\partial F(\vec x;t)}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\left(\underbrace{t^{-\frac{n}{2}}}_{=u}\cdot\underbrace{\exp\left(-\frac{x^2}{4t}\right)}_{=v}\right)$$$$\phantom{\frac{\partial F(\vec x;t)}{\partial t}}=\underbrace{-\frac{n}{2}t^{-\frac{n}{2}-1}}_{=u'}\cdot\underbrace{\exp\left(-\frac{x^2}{4t}\right)}_{=v}+\underbrace{t^{-\frac{n}{2}}}_{=u}\cdot\underbrace{\exp\left(-\frac{x^2}{4t}\right)\cdot\frac{x^2}{4t^2}}_{=v'}$$$$\phantom{\frac{\partial F(\vec x;t)}{\partial t}}=-\frac{t^{-\frac{n}{2}-1}}{2}\left(n-\frac{x^2}{2t}\right)\exp\left(-\frac{x^2}{4t}\right)$$

In der Tat sind beide Ausdrücke gleich, sodass die Differentialgleichung erfüllt ist.

Comments

DANKE VIELMALS!!!

Answer 2

Hallo

F(x,t) ist doch gegeben, du musst einfach ΔF und dF/dt  bilden, das ist reine Schreib bzw. Rechenarbeit, schreibe dazu ||x||^2 in Komponenten aus. wenn du x erstmal in R^2 nimmst kannst du dann in R^n einfach Pünktchen machen oder Summenzeichen verwenden.

Gruß lul