Ist g o f injektiv, wenn f und g injektiv sind?

Question

Seien \( f: X \rightarrow Y \) und \( g: Y \rightarrow Z \) Abbildungen von Mengen. Zeigen Sie:

(1) Wenn \( f \) und \( g \) injektiv/surjektiv sind, dann ist auch \( g \circ f \) injektiv/surjektiv.

Also, ich habe es versucht zu zeigen und wollte wissen, ob das so richtig ist. Wenn nicht, würde mir ein Denkanstoß gut tun :D

Antwort:

Seien f: X -> Y und g: Y -> Z Abbildungen von Mengen.

Es gilt:

g o f: X->Z

(g o f)(x)=g(f(x)) ∈ Z, f(x)∈ Y

Seien f und g injektiv

=> ∀x∈f∃!y∈f: x=y

Analog für g

Im allgemeinen gilt:

f: X->Y, g:Y->Z

=> W(g o f)= W(g)=Z (Wertebereich)

D(g o f)= D(f)=X (Definitionsbereich)

Somit ist g o f immer dann injektiv, surjektiv oder bijektiv, wenn f und g jeweils injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

Ist das so richtig ? Oder bin ich neben der Spur? :D

Answer 1

Für die Injektivität der Verkettung kannst du doch ganz klassisch

vorgehen. Seien a,b aus X mit

(g o f) (a)  = (gof)(b)

==>  g(f(a)) = g(f(b))

==>  f(a) = f(b)  weil g injektiv

==>   a = b weil f injektiv.

Und surjektiv auch wie immer:

Sei c∈Z. Dann gibt es b∈Y mit g(b)=c weil g surjektiv.

Und es gibt a∈X mit f(a)= b weil f surjektiv.

Also (g o f) (a) = c.

Comments

Aber wäre meine Lösung auch richtig? ^^

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Ich meine, dass da nicht alles so ganz auf den Punkt argumentiert ist.

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Okay, deins erscheint mir auf jeden Fall auch viel schlüssiger :) danke!