LGS lösen mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten

Question

Aufgabe:

Bauer Sparfuchs geht auf einen Markt und kauft Ziegen, Hasen und Huhner. Insgesamt bezahlt er 100
Taler für 100 Tiere.
Die Preise sind wie folgt:
1 Ziege kostet 10 Taler,
1 Hase kostet 3 Taler,
2 Huhner kosten 1 Taler.
Wieviele Ziegen, Hasen und Huhner kauft Bauer Sparfuchs?
Formulieren Sie die Aufgabe mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems und bestimmen Sie die Lösung.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich konnte zwei Gleichungen aufstellen, aber ich komme leider nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich mit 2 Gleichungen 3 Unbekannte berechnen soll.

1. 10x+3y+0.5z=100

2. X+Y+Z=100 , wobei x für die Anzahl der Tiere steht.

Answer 1

10x+3y+0.5z=100   |*2

x+y+z=100

---------

20x+6y+z=200

x+y+z=100

-----------

Subtrahieren

19x+5y=100

19x=100-5y

19x=5*(20-y)

x muss ein Vielfaches von 5 sein.

20-y muss ein Vielfaches von 19 sein.

Da 20-y nicht negativ sein darf, ist y=1 und x=5.

z=100-x-y=94 --> z=94

Probe mit der ersten Gleichung:

10*5+3*1+0.5*94=50+3+47=100

Answer 2

In den natürlichen Zahlen ist nur die Lösung x = 5 und y = 1 und z = 94 möglich.

Comments

Wie kommen Sie auf die 3 Unbekannten?

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Am Schnellsten mit Ausprobieren für 1 bis 9 Ziegen. Dann hat man nur noch 2 Unbekannte.

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Könnte man denn die Unbekannte X ohne Ausprobieren berechnen?

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Es gibt das Verfahren von Euler für lineare diophantische Gleichungen. Aber da muss man auch ausprobieren um die zweite Gleichung zu erfüllen.

Den in der anderen Antwort verlinkten Lösungsweg von MontyPython finde ich interessant.

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Okay Dankee :)

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Den in der anderen Antwort verlinkten Lösungsweg von MontyPython finde ich interessant.

Hallo döschwo,

deinen Kommentar habe ich erst nach meiner heutigen Antwort gelesen.

:-)

Answer 3

Das System ist unterbestimmt.

Gewöhnlich ist dann eine Variable frei wählbar.

Hier gibt es Einschränkungen, weil die Variablen ganzzahlig sein müssen.

Man muss daher knobeln.

https://www.mathelounge.de/725015/lineares-gleichungssystem-100-taler-100-tiere

Comments

Ich denke, die müssen nicht nur ganzzahlig sein, sondern auch natürlich. Es gäbe auch Lösungen des Gleichungssystems mit einer negativen Anzahl von Lebewesen.