Bei welchen Maßen des Plakats ist die bedruckte Fläche am größten?

Question

Aufgabe:

Ein rechteckiges Plakat hat eine Fläche von 35 dm².

Es wird so bedruckt, dass die Ränder an den Seiten jeweils 4 cm oben und unten jeweils 5 cm betragen. Bei welchen Maßen des Plakats ist die bedruckte Fläche am größten?

Problem/Ansatz:

Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter. Ich weiß das die maximale Fläche gefragt ist. Aber mir fehlt der Ansatz. Und wie ungefähr würde die Skizze aussehen?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Bekomme diese Aufgabe nicht hin!?

Stichworte: extremwertaufgabe

Aufgabe:

Ein rechteckiges Plakat hat eine Fläche von 35 dm².

Es wird so bedruckt, dass die Ränder an den Seiten jeweils 4 cm oben und unten jeweils 5 cm betragen. Bei welchen Maßen des Plakats ist die bedruckte Fläche am größten?

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand hier helfen?

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Schau mal da :

https://www.mathelounge.de/833852/bei-welchen-massen-des-plakats-ist…

Answer 1

Ein rechteckiges Plakat hat eine Fläche von 35 dm².

HB:

A(a,b)= (a-2*4)*(b-2*5) soll maximal werden.

NB:

a*b=35  → b=$\frac{35}{a}$

A(a)= (a-8)*($\frac{35}{a}$-10)= 115 - 10a - $\frac{8*35}{a}$

A´(a)= - 10 +$\frac{280}{a^2}$

- 10 +$\frac{280}{a^2}$=0      $\frac{28}{a^2}$=1      a^2=28

Text erkannt:

$a=2 \cdot \sqrt{7}$
$b=\frac{35}{2 \cdot \sqrt{7}}$
Probe: $a \cdot b=35$

Comments

Wieso bei der HB a-2*4 .....?

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Wie sind Sie auf die HB gekommen?

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Wieso bei der HB a-2*4 .....?

Weil die Schrift an beiden Seiten je 4cm eingerückt wird.

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"Wie sind Sie auf die HB gekommen?"

Die rote Fläche in der Skizze soll maximal werden.

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Wie sind Sie auf die HB gekommen?

Interessanter ist die Frage : Warum liefert so eine schlampige Lösung dennoch (bei korrekter Interpretation) das richtige Ergbnis ?

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Dich hält niemand ab, eine nicht schlampige Lösung zu schreiben.

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Wie würdest du es machen?

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Warum liefert so eine schlampige Lösung dennoch (bei korrekter Interpretation) das richtige Ergbnis ?

Weil es nicht auf das absolute Mass der Seitenränder ankommt, sondern lediglich auf ihr Verhältnis zu einander! Und das Verhältnis $4\div 5$ bleibt konstant, auch wenn man beide Werte mit 10 (oder 2) multipliziert.

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Meine Frage war natürlich nicht an dich gerichtet

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Meine Frage war natürlich nicht an dich gerichtet

macht nix ;-)

geometrisch lässt sich das so interpretieren:

 (Maße in $\text{dm}$)

Die Fläche des inneren Rechtecks ist genau dann maximal - bei gegebener Gesamtfläche - wenn die Diagonalen beider Rechtecke zusammen fallen.

Answer 2

Bedruckte Fläche A(a)=(a-4)·(b-5) oder A(a)=a·b-5b-5a+20 (Zielfunktion)

Nebenbedingung: a·b=35 oder b=$\frac{35}{a}$.

Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen:

A(a)=35-$\frac{175}{a}$-5a+20

A'(a)=$\frac{175}{a^2}$-5

0=$\frac{175}{a^2}$-5 hat die positive Lösung a=√35.

Dann ist b=√35.

Comments

@Roland: die 4 und die 5 sind jeweils $4\,\text{cm}$ und $5\,\text{cm}$ und die Fläche ist $35\,\text{dm}^2$.

Die Lösung ist $a= 20\sqrt 7\, \text{cm}$ und $b= 25\sqrt 7 \, \text{cm}$