Wie rechne ich diese Grenzwerte aus?

Question

Aufgabe:

Seien 0 < a, b ∈ R. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:

lim x->a (x^3-a^3) / (x^2-a^2)

lim x-> π/2  (tan(x) - (1/ cos(x))

Problem/Ansatz

Hallo liebe Mathefreunde :)

Ich habe leider garkeinen Ansatz wie man bei diesen beiden Aufgaben auf den Grenzwert kommen kann.

Es wäre sehr nett, wenn mir jemand Hilfestellung leisten könnte.

Lieben Gruß

Answer 1

Hallo,

falls Ihr L'Hospital benutzen dürft :

Comments

Dankeschön , ja das dürfen wir.

Answer 2

Aloha :)

(a) Hier kann man Zähler und Nenner faktorisieren und danach kürzen:$$\frac{x^3-a^3}{x^2-a^2}=\frac{(x-a)(x^2+ax+a^2)}{(x-a)(x+a)}=\frac{x^2+ax+a^2}{x+a}\;\stackrel{(x\to a)}{\to}\;\frac{3a^2}{2a}=\frac{3}{2}a$$

(b) Hier hilft folgende Betrachtung:$$\frac{1}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2}=1+\tan^2x\implies\frac{1}{\cos^2x}-\tan^2x=1\implies$$$$\left(\frac{1}{\cos x}-\tan x\right)\left(\frac{1}{\cos x}+\tan x\right)=1\implies\left(\frac{1}{\cos x}-\tan x\right)\frac{1+\sin x}{\cos x}=1$$$$\implies\left(\frac{1}{\cos x}-\tan x\right)=\frac{\cos x}{1+\sin x}\;\stackrel{(x\to\frac{\pi}{2})}{\to}\;\frac{0}{1+1}=0$$

Comments

Dankesehr , das hat mir sehr weitergeholfen.