Primzahlen, beweisen oder zeigen

Question

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ich habe mal eine Frage zu einer Aufgabe :

Zeigen Sie folgende Aussagen:
(a) 13 ist genau dann ein Teiler von 10a + b, wenn 13 ein Teiler von a + 4b ist.
(b) Jede achtstellige Zahl der Form abcdabcd hat mindestens zwei verschiedene Primfaktoren.
(c) Für jede Primzahl p≠ 5 ist 5 ein Teiler von p⁴ − 1.

Meine Ansätze

a) zz 10a+b =13k ⇔ a+4b=13k

10a+b= a+4b ......⇔3a=b → Teiler

oder noch eine Idee( Hier habe ich die Teilbarkeitsregel verwendet a|b ∧ a|c⇒ a|(b+c). : 13 | ( 11a+5b) =k ---⇔13 | 26a= k (für 3a=b) Also ist 13 |10+b     ???

b) Hier weiß ich überhaupt nicht wie ich rangehen soll. Ich habe mal bisschen im Internet recherchiert bzw. mal auf einer Seite getestet, aber es gibt Tatsächlich achtstellige Zahlende nicht in Primfaktor zerlegt werden.Ich weiß nicht, ob ich richtig liege.

c) 5|p⁴-1 , hier habe ich auch paar Primzahlen eingesetzt und es lässt sich durch 5 teilen, aber formal beweisen kann ich das leider nicht, was mich aber interessieren würde.

Ich habe mal versucht nach p aufzulösen dann hat man die vierte Wurzel von 5k+1 aber ob mich das weiterbringt ?

Brauche eure Hilfe

Comments

(a) 13 ist genau dann ein Teiler von 10a + b, wenn 13 ein Teiler von a + 4b ist.

Das eine lässt sich unmittelbar in das andere umrechnen:$$\begin{aligned} a + 4b &\equiv 0 \mod 13 &&|\, \cdot 3\\ 3a + 12b &\equiv 0 \mod 13 &&|\, \cdot (-1) \\ 10a + b &\equiv 0 \mod 13 \end{aligned}$$

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Dankee dir !

Haben mit mod ganz neu angefangen deswegen wusste ich leider nicht wie ich so etwa vorgehen sollte.

Answer 1

Hallo

abcdabcd  abc=A  also A*10*10001+d*10001 und 10001=73*137

c) p lässt den Rest 1,2,3,4 bei Division durch 5, jetzt überlege welche Reste p^4 lässt

du kannst ja einfach mit p=2mod5  dann p^4 =2^4mod 5 =1mod 5  usw rechnen.

a) kannst du nicht so rechnen 10a+b =13n ⇔ a+4b=13m wobei n≠m ist im allgemeinen  Beispiel a=35, b=1

a+4b=13*3. 10a+b=13*27 also keineswegs a+4b=10a+b trotzdem stimmt die Behauptung also rechne lieber mit Resten : a lässt bei Division durch 13 den Rest -4  (oder +9) 10a lässt den Rest...

Gruß lul

Comments

Okayy vielen Dank !

Ich versuche das ganze jetzt nochmal mit deinen Tipps

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Hallo

das waren mehr als Tips, bei b) die Rechnung bei c fast die Rechnung ;-)

lul

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Stimmt , danke :)

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Hallo

a hatte ich falsch , Berichtigung :3*(a+4b)+10a+b=13a+13b durch 13 tb. damit muss wenn 3a+b) durch 13 tb  aus 10a+b durch 13tb sein und umgekehrt.

Gruß lul