Schreibweisen bei Ableitungen, Totales Differential

Question

ich hätte eine Frage zu der Form und Schreibweisen bei Ableitungen.

Was ich bisher dacht ist, dass wenn wir Funktion f haben und uns dann df/dx anschauen dass wir die funktion f nach x ableiten und wenn wir nur dx haben, dass dies uns sagt, dass wir nach x integrieren sollen. Inzwischen unsicher ob das stimmt? :D

Nun ist mir bei dem Totalen Differential etwas begegnet was mich verwirrt. Hier kommt dx als Differential hinter eine die partielle Ableitung, also,

df = partielle Ableitung nach x * dx ...

hier versteh ich leider dann doch nicht mehr ganz was mir df und dx aussagen. Kann mir jemand erzählen, wie sich das ließt und was es bedeutet.

Answer 1

Aloha :)

Wenn eine Funktion \(f(x,y)\) partiell differenzierbar ist, kannst du die (partielle) Ableitung nach \(x\) bestimmen und \(y\) dabei festhalten oder umgekehrt \(x\) festhalten und die (partielle) Ableitung nach \(y\) bestimmen. Die Variablen \(x\) und \(y\) werden dabei als unabhängig voneinander behandelt. In realen Systemen sind beide Variablen aber oft ihrerseits über eine gemeinsame Variable miteinander vernküpft, z.B. können sich beide mit der Zeit \(t\) ändern, sodass \(x=x(t)\) und \(y=y(t)\) ist. Du könntest nun die Funktionen \(x(t)\) und \(y(t)\) in den Funktionsterm von \(f\) einsetzen und würdest eine Funktion erhalten, die nur noch von \(t\) abhängt, also \(f(t)=f(x(t),y(t))\). Diese Funktion könntest du nun (total) nach \(t\) ableiten.

Du könntest die totale Ableitung aber auch mit Hilfe der Kettenregel bestimmen:$$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}$$und sparst dir so das vorherige Einsetzen von \(x(t)\) und \(y(t)\). Die Änderung der Funktion \(\Delta f\) bei einer Änderung der Variablen \(\Delta t\) wäre dann in linearer Näherung:

$$\frac{\Delta f}{\Delta t}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\Delta x}{\Delta t}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\Delta y}{\Delta t}$$

Multipliziert man die Gleichung mit \(\Delta t\) bleibt übrig:$$\Delta f=\frac{\partial f}{\partial x}\,\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\,\Delta y$$

Hierbei darf man aber nicht vergessen, dass die Änderungen \(\Delta x\) und \(\Delta y\) nicht unabhängig voneinander sind, sondern beide durch die Änderung ihrer gemeinsamen Variablen \(t\) bestimmt werden. Symbolisch schreibt man das auch als:$$df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy$$

Bei partiellen Ableitungen können sich die Funktionsvariablen unabhängig voneinander ändern. Bei der totalen Ableitung ändern sich alle Funktionsvariablen in Abhängigkeit von einer gemeinsamen Variablen \(t\).

Comments

danke was ich jetzt noch nicht ganz verstehe: Am Ende steht ja nur noch partielle Ableitung von x * dx .... Hier häng ich mich noch auf und versteh nicht ganz was das dx mir jetzt sagt. Mit der Partiellen Ableitung kann ich was anfangen aber mit dem dx was danach noch ran multipliziert wird haperts bei mir :D.

Answer 2

Hallo :-)

Beim totalen Differential beschäftigt man sich mit Funktionen der Form \(f:\ \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\).

Nun will man diese Funktion in einer Stelle \(x_0\in \mathbb{R}^n\) linear approximieren; Taylorapproximation 1. Ordnung. Man braucht also schonmal stetig partielle Differentzierbarkeit von \(f\). Du hast dann also ein mehrdimensionales Taylorpolynom 1. Ordnung an einer Stelle \(x_0\in \mathbb{R}^n\)

\(T_1f(x,x_0)=f(x_0)+J_f(x_0)\cdot (x-x_0)\), wobei

\(x:=\begin{pmatrix}x^{(1)}\\\vdots\\x^{(n)}\end{pmatrix},\quad x_0:=\begin{pmatrix}x_0^{(1)}\\\vdots\\x_0^{(n)}\end{pmatrix}\)

und \(J_f(x)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x^{(1)}}(x),...,\frac{\partial f}{\partial x^{(n)}}(x)\end{pmatrix}\) die Jacobimatrix ist.

Eingesetzt ergibt das nun

\(\begin{aligned}T_1f(x,x_0)&=f(x_0)+\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x^{(1)}}(x_0),...,\frac{\partial f}{\partial x^{(n)}}(x_0)\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x^{(1)}-x_0^{(1)}\\\vdots\\x^{(n)}-x_0^{(n)}\end{pmatrix}\\[15pt]&=f(x_0)+\sum\limits_{k=1}^n\frac{\partial f}{\partial x^{(k)}}(x_0)\cdot (x^{(k)}-x_0^{(k)})\end{aligned}\)

Umgeformt ist

\(\underbrace{T_1f(x,x_0)-f(x_0)}_{=:df(x_0)}=\sum\limits_{k=1}^n\frac{\partial f}{\partial x^{(k)}}(x_0)\cdot \underbrace{(x^{(k)}-x_0^{(k)})}_{=:d^{(k)}}\),

also das totale Differential:

\(df(x_0)=\sum\limits_{k=1}^n\frac{\partial f}{\partial x^{(k)}}(x_0)\cdot d^{(k)}\)