Zeigen Sie, dass die folgende Menge abgeschlossen im ℝ2 ist

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die folgende Menge abgeschlossen im ℝ² ist:

E =  {(x, y) ∈ ℝ² | x + y ≤ 1}

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand dabei helfen? (Ansätze, Lösungen zum Abgleich etc.)

Answer 1

Hallo,

setze \(f: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}, \, (x,y)\mapsto x+y\). Diese Abbildung ist als Summe stetiger Funktionen stetig. Die Menge \(E^C\) ist nun das Urbild der offenen Menge \(\{z\in \mathbb{R} : z>1\}\) und damit ihrerseits offen in \(\mathbb{R}^2\), folglich ist \(E\) abgeschlossen.