Bestimmen Sie für a) - c) zuerst die jeweiligen Parameter \mathbf{n} , \mathbf{p} und k!

Question

Aufgabe:

2. Ein Glücksrad ist in vier Sektoren folgender Größe aufgeteilt:
Sektor \( A-60^{\circ} \); Sektor \( B-150^{\circ} \); Sektor \( C-60^{\circ} \); Sektor \( \mathrm{D}-90^{\circ} \) (s. Abbildung) und wird n-mal gedreht. Bestimmen Sie für a) - c) zuerst die jeweiligen Parameter \( \mathbf{n} \), \( \mathbf{p} \) und k! Geben Sie dann jeweils die Gleichung zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass es
a) bei acht Spielen genau fünfmal auf dem Feld A;
b) bei zehn Spielen genau dreimal auf dem Feld B;
c) bei zwei Spielen genau zweimal auf einem der Felder \( \mathrm{B} \) oder \( \mathrm{D} \) zu stehen kommt!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Ein Kreis hat insgesamt \(360^\circ\), daher ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:$$p(A)=p(C)=\frac{60^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{6}\quad;\quad p(B)=\frac{150^\circ}{360^\circ}=\frac{5}{12}\quad;\quad p(D)=\frac{90^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{4}$$

zu 1) Bei \(n=8\) Spielen genau \(k=5\)-mal das Feld \(A\):$$p_1=\binom{8}{5}p(A)^5\cdot(1-p(A))^3=\binom{8}{5}\left(\frac{1}{6}\right)^5\left(\frac{5}{6}\right)^3\approx0,416762\%$$

zu 2) Bei \(n=10\) Spielen genau \(k=3\)-mal das Feld \(A\):$$p_1=\binom{10}{3}p(B)^3\cdot(1-p(B))^3=\binom{10}{3}\left(\frac{5}{12}\right)^3\left(\frac{7}{12}\right)^7\approx19,9510\%$$

zu 3) Bei \(n=2\) Spielen genau \(2\)-mal auf Feld \(B\) oder Feld \(D\):

$$p_3=p(BB)+p(BD)+p(DB)+p(DD)$$$$\phantom{p_3}=\frac{5}{12}\cdot\frac{5}{12}+\frac{5}{12}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{5}{12}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{4}{9}\approx44,4444\%$$