Zahlen mit vorgegebener Teileranzahl

Question

Morgen,

ich versuche folgende Aufgaben zu lösen :

Zahlen mit vorgegebener Teileranzahl

(a) Bestimmen Sie alle natürliche Zahlen n, die durch 12 teilbar sind, nur zwei verschiedene Primfaktoren und genau 14 Teiler haben.
(b) Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl a mit τ(a) = 16.
(c) Skizzieren Sie einen Algorithmus, der für jede natürliche Zahl n die kleinste naürliche
Zahl an mit τ(a_n)= n liefert.

Aber leider scheitere ich immer wieder dran. Brauche Hilfe !

VG

Answer 1

b)

Die kleinste Zahl mit 16 Teilern ist 120.

120=2^3*3^1*5^1

Aus den Exponenten der Primfaktoren ergibt sich die Anzahl der Teiler.

(3+1)*(1+1)*(1+1)=16

Die Exponenten müssen um 1 erhöht werden und dann miteinander multipliziert werden.

Du musst also 16 als Produkt von Zahlen, die größer als 1 sind, schreiben, und damit die 120 finden.

16=2*8=4*4=2*2*2*2=2*2*4

Nun immer die kleinsten Primzahlen verwenden und die Exponenten um 1 verkleinern:

2*8 → 2^{8-1}*3^{2-1}=128*3=384

4*4 → 2^3*3^3=216

2*2*2*2 → 2*3*5*7=210

2*2*4 → 2^3*3*5=120

:-)

Comments

Vielen Dank !

Answer 2

Zahlen n, die durch 12 teilbar sind, nur zwei verschiedene Primfaktoren und genau 14 Teiler haben, müssen die Form n=2^x·3^y haben, wobei x≥2 und y≥1 sein muss. Weil 14=2·7 gilt, muss entweder x oder y gleich 1 sein und er jeweils andere Exponent 6.

Dann ist 2⁶·3¹ die einzige Zahl, die durch 12 teilbar ist, nur zwei verschiedene Primfaktoren und genau 14 Teiler hat.