Berechnen eines Integral

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Integral

\(\int \limits_{1}^{3} -(x-2)^{2} +1dx\)

einmal direkt und einmal mit zur Hilfe nahme der Substitutionsregel mit der Substitution u = x − 2

Problem/Ansatz:

Leider weiß ich nicht wirklich wie ich weder bei einer direkten Berechnung noch bei der Substitution richtig Ansetzten soll.

Ich bedanke mich schon im Voraus für die Hilfe!

Answer 1

direkt:

\(\int \limits_{1}^{3} -(x-2)^{2} +1dx\) 

= \(\int \limits_{1}^{3} -(x^2 -4x +4 ) +1dx\)

= \(\int \limits_{1}^{3} -x^2 +4x -4 +1dx\)

= \(\int \limits_{1}^{3} -x^2 +4x -3dx\)

Eine Stammfunktion ist F(x)= -x^3 / 3 + 2x^2 - 3x

also ist das Integral F(3)-F(1) = 4/3.

mit Substitution:  u=x-2. Dann hast du wegen u'(x)=1 ja du=dx

und für die Grenzen rechnest du

aus x=1 folgt u=1-2=-1 und aus x=3 folgt u=1. Somit

\(\int \limits_{1}^{3} -(x-2)^{2} +1dx\)

=\(\int \limits_{-1}^{1} -u^{2} +1du\)

Stammfunktion ist hier z.B. F(u) = -u^3/3 +u

und F(1) - F(-1) = 2/3 - (-2/3) = 4/3 . Passt also.

Answer 2

Text erkannt:

Direkter Weg:
\( \int \limits_{1}^{3}\left[-(x-2)^{2}+1\right] \cdot d x=\int \limits_{1}^{3}\left(-x^{2}+4 x-3\right) \cdot d x=\left[-\frac{1}{3} x^{3}+2 x^{2}-3 x\right]_{1}^{3}= \)
\( =\left[-\frac{1}{3} \cdot 3^{3}+2 \cdot 3^{2}-3 \cdot 3\right]-\left[-\frac{1}{3}+2-3\right]=\left[-\frac{1}{3} \cdot 3^{3}+2 \cdot 3^{2}-3 \cdot 3\right]-\left[-\frac{1}{3}+2-3\right]=\frac{4}{3} \)
Mit Substitution: \( u=x-2 \rightarrow \rightarrow x=u+2 \rightarrow \rightarrow d x=1 \cdot d u \)
\( \int\left[-(x-2)^{2}+1\right] \cdot d x=\int\left[-u^{2}+1\right] \cdot d u=\left[-\frac{u^{3}}{3}+u\right]+C \)
Resubstitution:
\( \int \limits_{1}^{3}\left[-(x-2)^{2}+1\right] \cdot d x=\left[-\frac{(x-2)^{3}}{3}+x-2\right]_{1}^{3}=\left[-\frac{(3-2)^{3}}{3}+3-2\right]-\left[-\frac{(1-2)^{3}}{3}+1-2\right]=\frac{4}{3} \)