Hallo :-)
Es gibt sehr viele verschiedene Skalarprodukte. Das Standardskalarprodukt, wie du als Beispiel \(\vec{v} \cdot \vec{w} = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2\) angedeutet hast, ist nur eins von vielen und lässt sich ja allgemein so formulieren:
Für alle \(v,w\in \mathbb{R}^n\) mit \(\vec{v}:=v:=\begin{pmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{pmatrix},\quad \vec{w}:=w:=\begin{pmatrix}w_1\\\vdots\\w_n\end{pmatrix}\) ist
\(\vec{v}\cdot \vec{w}:=\langle v,w \rangle:=\sum\limits_{k=1}^n v_k\cdot w_k=v^T\cdot w\) das auf \(\mathbb{R}^n\) definierte Standardskalarprodukt.
Diese Abbildung \(\langle .,. \rangle:\space \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) ist demnnach für alle \(v,w,x\in \mathbb{R}^n\) und alle \(\alpha,\beta \in \mathbb{R}\):
(i) Symmetrisch: \(\langle v,w \rangle=\langle w,v \rangle\).
(ii) Bilinear: \(\langle v,\alpha\cdot w + \beta\cdot x \rangle=\alpha\cdot \langle v,w \rangle+\beta\cdot \langle v,x \rangle\) und
\(\langle \alpha\cdot w + \beta\cdot x,v \rangle=\alpha\cdot \langle w,v \rangle+\beta\cdot \langle x,v \rangle\) (folgt aber schon aus der Symmetrie).
(iii) Positiv definit: \(\langle v,v \rangle > 0, \quad \forall v\neq 0\).
Zur Aufgabe:
\(\begin{pmatrix} v1\\v2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} w1\\w2 \end{pmatrix} := 2v_1 w_1 + v_1w_2 + v_2w_1 + 3v_2w_2 \)
ist erstmal nur eine Abbildung, bei dem du nun die Eigenschaften (i), (ii) und (iii) nachrechnen sollst, um dann sagen zu können, das dies auch ein Skalarprodukt ist. Was die \(2\) und \(3\) da sollen, kann dir für den Nachweis der drei Eigenschaften egal sein.
