Hallo,
dann sieht die Szene so aus:
Stelle die beiden Geradengleichungen für die Strahlen durch \(P\) und \(A\) und durch \(P\) und \(B\) auf.$$g_a \quad \vec x = \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 15\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -6\end{pmatrix} t\\ g_b \quad \vec x = \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 15\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\ 3\\ -3\end{pmatrix} u$$und berechne die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Ebene \(E\).
In Parameterform setze die Ebenengleichung mit einer der gewünschten Geradengleichungen gleich$$E = g_a \implies \\ \begin{pmatrix}-2\\ 0\\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}r + \begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 1\end{pmatrix}s = \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 15\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -6\end{pmatrix} t$$umsortieren gibt$$\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} r + \begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 1\end{pmatrix}s + \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 6\end{pmatrix}t = \begin{pmatrix}4\\ 4\\ 14\end{pmatrix} $$Es reicht, das \(t\) zu isolieren. Ziehe dazu die erste Zeile bzw. Gleichung (die X-Koordinate) von den anderen beiden Zeilen ab. ich schreibe nur noch die Koeffizienten:$$\begin{array}{ccc|c}1& -2& 1& 4\\ 0& 4& 0& 0\\ 0& 3& 5& 10\end{array}$$Aus der zweiten Zeile folgt bereits \(s=0\) und wenn man dies in die dritte Zeile einsetzt, so wird \(t=2\). Mit \(t=2\) gehe nun in die Geradengleichung \(g_a\) und Du erhältst den Schnittpunkt \(A'\) von \(g_a\) mit \(E\). Das Verfahren mit \(g_b\) ist natürlich identisch.
Die Schnittpunkte, und damit die Endpunkte des Schattens der Strecke, sind$$A' = \begin{pmatrix}0\\ 2\\ 3\end{pmatrix}, \quad B' = \begin{pmatrix}0\\ 10\\ 9\end{pmatrix}$$und die Länge ist der Betrag der Differenz$$|A'B'| = \left| \begin{pmatrix}0\\ 10\\ 9\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\ 2\\ 3\end{pmatrix}\right| = 10$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
