Berechnen sie mithilfe der Schattenpunkte von A und B die Länge des Schattens der Strecke AB.

Question

Aufgabe:

Die Punkte A (1/3/9) und B 1/7/12) sind die Endpunkte der Strecke AB. Im Punkt P (2/4/5) befindet sich eine punktförmige Lichtquelle, die einen Schatten der Strecke AB auf die

Ebene E: x= -2/0/1 + r• 1/1/1 + s• -2/2/1

wirft.

Berechnen sie mithilfe der Schattenpunkte von A und B die Länge des Schattens der Strecke AB.

Problem/Ansatz:

Ich versuche seit einer Stunde, die Aufgabe zu lösen, komme aber mit den bisherigen Erklärungen aus anderen Foren nicht weiter. Wenn es eine x1x2-Ebene wäre, hätte ich glaube ich noch gewusst, was ich tun muss, aber das kann man hier ja nicht ablesen (glaube ich?)

Comments

Anbei mal eine Szene nach der Beschreibung aus Deiner Aufgabe (klick auf das Bild).

Der Punkt $P$ liegt direkt in $E$ ($r=4$ und $s=0$) und kann somit schwerlich einen Schatten in $E$ werfen. Checkst Du bitte nochmal die Angaben aus Deiner Aufgabe

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Sorry,  der Punkt P lautet (2/4/15)

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Ok - das sieht gut aus. Kannst Du die Parameterfrom der Ebene in Koordinatenform umwandeln oder rechnet Ihr Schnittpunkte Ebene mit Gerade beides in Parameterform?

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Wir rechnen alles in Parameterform

Answer 1

Berechne den Schnittpunkt der Gerade PA mit E.

Berechne den Schnittpunkt der Gerade PB mit E.

Answer 2

Hallo,

dann sieht die Szene so aus:

Stelle die beiden Geradengleichungen für die Strahlen durch $P$ und $A$ und durch $P$ und $B$ auf.$$g_a \quad \vec x = \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 15\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -6\end{pmatrix} t\\ g_b \quad \vec x = \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 15\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\ 3\\ -3\end{pmatrix} u$$und berechne die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Ebene $E$.

In Parameterform setze die Ebenengleichung mit einer der gewünschten Geradengleichungen gleich$$E = g_a \implies \\ \begin{pmatrix}-2\\ 0\\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}r + \begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 1\end{pmatrix}s = \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 15\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -6\end{pmatrix} t$$umsortieren gibt$$\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} r + \begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 1\end{pmatrix}s + \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 6\end{pmatrix}t = \begin{pmatrix}4\\ 4\\ 14\end{pmatrix}$$Es reicht, das $t$ zu isolieren. Ziehe dazu die erste Zeile bzw. Gleichung (die X-Koordinate) von den anderen beiden Zeilen ab. ich schreibe nur noch die Koeffizienten:$$\begin{array}{ccc|c}1& -2& 1& 4\\ 0& 4& 0& 0\\ 0& 3& 5& 10\end{array}$$Aus der zweiten Zeile folgt bereits $s=0$ und wenn man dies in die dritte Zeile einsetzt, so wird $t=2$. Mit $t=2$ gehe nun in die Geradengleichung $g_a$ und Du erhältst den Schnittpunkt $A'$ von $g_a$ mit $E$. Das Verfahren mit $g_b$ ist natürlich identisch.

Die Schnittpunkte, und damit die Endpunkte des Schattens der Strecke, sind$$A' = \begin{pmatrix}0\\ 2\\ 3\end{pmatrix}, \quad B' = \begin{pmatrix}0\\ 10\\ 9\end{pmatrix}$$und die Länge ist der Betrag der Differenz$$|A'B'| = \left| \begin{pmatrix}0\\ 10\\ 9\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\ 2\\ 3\end{pmatrix}\right| = 10$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Hi :)

Könntest du mir bitte bei meine neusten Frage helfen.

Vor allem, wie man die Stützpunkte einsetzt und in den Integrand einsetzt, da keine Formel gegeben ist(nur Stützpunkte).

Wäre dir sehr dankbar, wenn du mir helfen könntest :)

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Könntest du vielleicht einmal kurz erklären, wie du die Gleichung mit der Ebene und der abgerissen umsortiert hast? Ich kann das nicht so ganz nachvollziehen

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Könntest du vielleicht einmal kurz erklären, wie du die Gleichung mit der Ebene und der abgerissen umsortiert hast?

Meinst Du dies?$$E = g_a \implies \\ \begin{aligned}\begin{pmatrix}-2\\ 0\\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}r + \begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 1\end{pmatrix}s &= \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 15\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -6\end{pmatrix} t &&\left|\,- \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -6\end{pmatrix} t \right. \\ \begin{pmatrix}-2\\ 0\\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}r + \begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 1\end{pmatrix}s + \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 6\end{pmatrix} t &= \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 15\end{pmatrix} &&\left|\,- \begin{pmatrix}-2\\ 0\\ 1\end{pmatrix} \right.\\ \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}r + \begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 1\end{pmatrix}s + \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 6\end{pmatrix} t &= \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 15\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}-2\\ 0\\ 1\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}r + \begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 1\end{pmatrix}s + \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 6\end{pmatrix} t &= \begin{pmatrix}2+2\\ 4-0\\ 15-1\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}r + \begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 1\end{pmatrix}s + \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 6\end{pmatrix} t &= \begin{pmatrix}4\\ 4\\ 14\end{pmatrix}\end{aligned}$$

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wieso stehen hier in der Matrix andere Zahlen als in der gleichung?

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wieso stehen hier in der Matrix andere Zahlen als in der gleichung?

weil die Matrix bereits das Resultat(!) der im Text darüber beschriebenen Rechnung enthält. Wenn ich nur die Koeffizienten schreibe, dann steht da:$$\begin{array}{ccc|c}1& -2& 1& 4\\ 1& 2& 1& 4\\ 1& 1& 6& 14\end{array}$$das ist eine Kopie der Gleichung mit den Vektoren. Ich schrieb dann (s.o.)

Es reicht, das $t$ zu isolieren. Ziehe dazu die erste Zeile bzw. Gleichung (die X-Koordinate) von den anderen beiden Zeilen ab.

tut man das, was da steht, so wird daraus:$$\begin{array}{ccc|c}1& -2& 1& 4\\ 0& 4& 0& 0\\ 0& 3& 5& 10\end{array}$$

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und berechne die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Ebene $E$.

Woher weiss man, dass man das machen muss? Ich verstehe den ganzen Zusammenhang nicht. Wie du das rechnest, kann ich komplett nachvollziehen, aber wie du darauf alles kommst leider gar nicht. Woher weiss man auch, dass man die Geradengleichung PA bzw PB aufstellen muss?

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Schau dir doch die Skizze an, die erklärt alles. Das setzt allerdings voraus, dass man weiß, wie ein Schatten entsteht. Was genau ist dir also unklar?

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Mach dir klar, was Schattenpunkte sind. Auf "abiturma.de" ist das meiner Ansicht nach gut beschrieben:

Es sind Punkte, die durch
- eine Lichtquelle (Punktquelle) oder
- die Sonne (parallele Sonnenstrahlen)

von einem geometrischen Objekt im Raum auf eine Koordinatenebene oder eine beliebige Ebene im Raum erzeugt werden.

Fall 1: Aufgabe mit Schatten einer punktförmigen Lichtquelle (Lampe).

Schritte
- Schritt 1: Stelle Hilfsgeraden auf, welche die Lichtquelle mit den Eckpunkte der Objekte, die Schatten werfen, verbinden.
- Schritt 2: Schneide die Hilfsgeraden mit der Ebene, auf die die Schatten fallen.

Fall 2: Aufgabe mit Schatten einer weit entfernten Lichtquelle (Sonne).

Schritte
- Schritt 1: Stelle Hilfsgeraden auf, die durch die Eckpunkte der Objekte, die Schatten werfen, gehen und in Richtung der Sonnenstrahlen verlaufen.
- Schritt 2: Schneide die Hilfsgeraden mit der Ebene, auf die die Schatten fallen.