Bestimmen Sie alle x in der die Taylor Reihe konvergiert.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f: (-1, unendlich) -> R, f(x) = ln(1+x).

a) Entwickeln Sie eine Funktion f an der Stelle xo = 1 in eine Taylor Reihe, indem sie zunächst eine Formel für f^(n)(x) mit n aufstellen und per vollständiger Induktion beweisen.

b) Bestimmen Sie alle x in der die Taylor Reihe konvergiert.

Problem/Ansatz:

Hallo:)

Ich weiß überhaupt nicht was die von mir wollen . Aufgaben teil b würd ich noch hinkriegen aber bei a steht ich auf dem Schlauch.

Comments

Bei a sollst du zuerst die n-te Ableitung von f bestimmen. Du kannst ja mal die ersten 3-4 Ableitungen ausrechnen und schauen ob du ein Muster erkennst.

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Also die Ableitungen sind doch :

1/(x+1)

-1/(x+1)^2

2/(x+1)^3

Man erkennt schon ein Muster aber wie mach ich jetzt weiter

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Ja genau, das sieht gut aus. Wenn du die n-te Ableitung betrachtest, wie hängt das Vorzeichen von n ab? Wie der Zähler? Denk mal an die Fakultät. Wie der Exponent im Nenner?

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Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen Sie alle x \in \mathbb{R} , in denen die Taylor-Reihe konvergiert.

Stichworte: taylorreihe,reihen,potenzen

Text erkannt:

Aufgabe 9 (Pflichtaufgabe) Gegeben sei die Funktion \( f:(-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\ln (1+x) \).
a) Entwickeln Sie die Funktion \( f \) an der Stelle \( x_{0}=1 \) in eine Taylor-Reihe, indem Sie zunächst eine Formel für \( f^{(n)}(x) \) mit \( n \in \mathbb{N} \) aufstellen und per vollständiger Induktion beweisen.
b) Bestimmen Sie alle \( x \in \mathbb{R} \), in denen die Taylor-Reihe konvergiert.

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich benötige die Lösung dieser Aufgaben, wäre sehr nett wenn ihr Antwortet vielen dank!

Answer 1

Ableitungen sind

1/(x+1) ; -1/(x+1)^2 ; 2/(x+1)^3 ; -6/(x+1)^4 ; 24/(x+1)^5

also wohl f⁽ⁿ⁾ (x) = (-1)^(n+1) * (n-1)! / (x+1)^n

Comments

Okay und jetzt muss man das ja mit einer Induktion beweisen. Aber ich komme bei dem Beweis nicht Weiter. Den Induktionsanfang hab ich für n=1.

Für Induktionschritt hab ich Voraussetzung: A(n)

Behauptung: A(n+1)

Und der Beweis?

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Bew.:   f⁽ⁿ⁾ (x) = (-1)^(n+1) * (n-1)! / (x+1)^n

==>  f⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) = Ableitung von f⁽ⁿ⁾

                 =  (-1)^(n+1) * (n-1)! * Ableitung von (x+1)^(-n)

                   =  (-1)^(n+1) * (n-1)! * (-n) * (x+1)^(-n-1)

                 =  (-1)^(n+1) * (n-1)! * (-1) *n *  1 /(x+1)^(n+1)

                 =  (-1)^(n+2) * n! *  1 /(x+1)^(n+1)  Passt !

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Wie würdet ihr bei b) vorgehen? habe für den Grenzwert q = 0 und für R = 1/q = ∞ und ihr so?

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Wie hast du das umgeformt? Also was hast du für an und an+1. Man muss ja den Teil mit dem x von dem mit dem n trennen oder?

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Meinst du die Koeffizienten für die Taylorreihe ?

Da es mit Entwicklungspunkt 1 ist, sehen die so aus

a_n = f⁽ⁿ⁾(1) / n!

und es ist (s.o.) f⁽ⁿ⁾(1) = (-1)^(n+1)*(n-1)! / (2^n)

==>   a_n =  (-1)^(n+1) / (n*2^n)

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Hey zusammen

darf ich mal fragen warum man beim beweis bei a) nur den teil unten im bruch ableitet und der teil oben einfach stehn bleibt?

mfg

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s.o. Der Zähler ändert sich auch:

1/(x+1) ; -1/(x+1)^2 ; 2/(x+1)^3 ; -6/(x+1)^4 ; 24/(x+1)^5

Das ist einfach nur wie bei der Ableitung von 1 / x^n .