Bestimmen Sie die maximale Größe des Giebelfensters

Question

Aufgabe:

Sie wollen in einem Haus mit AB=12 und d(C,gAB)=3 sowie
∠BAC<π/2 und ∠ABC<π/2 (siehe Abbildung) auf dem Dachboden ein
quadratisches Giebelfenster parallel zum Boden einbauen. Bestimmen Sie mit Hilfe von Strahlensatzen die maximale Kantenlange x dieses Fensters.

Answer 1

Hallo,

das quadratische Fenster habe die Kantenlänge \(x\) - also sowohl Breite als auch Höhe. Ich führe noch einen Punkt \(P\) an der oberen linken Ecke des Fensters ein. Nach dem 1. Strahlensatz ist$$\frac{|PC|}{|AC|} = \frac{|CH_c'|}{|CH_c|} = \frac{3-x}{3}$$und nach dem 2. Strahlensatz ist$$\frac{|PC|}{|AC|} = \frac{x}{12}$$Da kommt zweimal das selbe Verhältnis \(|PC|/|AC|\) in den Gleichungen vor. Das kann man gleich setzen und nach \(x\) auflösen:$$\begin{aligned} \frac{3-x}{3} &= \frac{x}{12} &&|\, \cdot 12\\ 4(3-x) &= x &&|\, +4x\\ 12 &= 5x &&|\, \div 5\\ x &= 2,4 \\ \end{aligned} $$Gruß Werner

Comments

12 ist doch die Streckenlänge von AB und nicht AC

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12 ist doch die Streckenlänge von AB und nicht AC

das ist korrekt! Es steht aber auch nirgendwo in meiner Antwort, dass \(|AC|\) gleich \(12\) sein soll ... - oder?

Vielleicht willst Du darauf hinaus:$$\frac{|PC|}{|AC|} = \frac{x}{12}$$das ist der zweite Strahlensatz! Der besagt, Zitat aus Wikipedia:

Es verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie die ihnen entsprechenden, vom Scheitel aus gemessenen Strecken auf jeweils derselben Geraden

Die beiden Abschnitte auf den Paralleln sind \(x\) und \(|AB|=12\). Und die verhalten sich genau wie die vom Scheitel \(C\) aus gemessenen Strecken \(|PC|\) und \(|AC|\). Also$$\frac{x}{12} =\frac{|PC|}{|AC|}$$oder umgekehrt.

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Ich hätte nicht gedacht, dass man dann x ins Verhältnis zu 12 setzen kann, weil x mittig in der Strecke AB=12 liegt. Aber stimmt es macht Sinn....danke dir!

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dass man dann x ins Verhältnis zu 12 setzen kann, weil x mittig in der Strecke AB=12 liegt.

Bei einem Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang. Also hat auch die obere Seite des Fensters die Breite \(x\) ;-)

Answer 2

Nach einem Strahlensatz gilt:

(1) \( \frac{v}{x} \)=\( \frac{v+x-a}{3} \)

(2) \( \frac{u}{x} \)=\( \frac{u+a}{3} \)

Außerdem gilt:

(3) u+x+v=12

Löse das System (1), (2), (3).