Teilmenge von R^2 auf Eigenschaften überprüfen 0<= y <= 1-x^4

Question

Text erkannt:

(a) \( \left.A=\left\{\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq y \leq 1-x^{4}\right\} \)

Aufgabe:

Untersuche die Teilmengen von R2  auf Kompaktheit Abgeschlossenheit Beschränktheit und Offenheit.

Problem/Ansatz:

Zur Verständnis: Soll x über y eine Matrix sein oder der Binomialkoeffizient? Oder eine alternative Darstellung für (x,y)?

Die Norm ist durch 0<= nach unten beschränkt , kann man die gesamte Teilmenge dann beschränkt nennen?

Im Komplement sind alle Zahlen z > 0 und z >= 1 ( Dann wäre die Teilmenge nach oben und unten beschränkt) ,richtig?

Wie kann ich hier die Offenheit bestimmen?

Answer 1

Zerlege \(A=A_1\cap A_2\),so dass:$$A=\left \{\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^2 : 0\leq y \leq 1-x^2\right\}=\underbrace{\left \{\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^2 : 0\leq y \right\}}_{A_1}\cap \underbrace{\left \{\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^2 : y\leq 1-x^2\right\}}_{A_2}$$ Betrachte nun \(A_1\) und \(A_2\) separat. Ich mache das für \(A_2\).

Setze \(f: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}, \, (x,y)\mapsto x^2+y-1\). Diese Funktion ist stetig. Dann ist \(A_2^C=f^{-1}(\{z\in \mathbb{R} : z>0\})\), wobei \(\{z\in \mathbb{R} : z>0\}\) offen in \(\mathbb{R}\) ist. Damit ist \(A_2^C\) das offene Urbild der Menge \(\{z\in \mathbb{R} : z>0\}\) unter der stetigen Funktion \(f\) und damit seinerseits offen in \(\mathbb{R}^2\). Weil\(A_2^C\) offen ist, ist \(A_2\) abgeschlossen. Wenn du die Abgeschlossenheit von \(A_1\) nachgewiesen hast, so ist der Durchschnitt ebenfalls abgeschlossen.

Merke: Urbilder offener/abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen sind offen/abgeschlossen.