(Beweis) Menge Matrizen sind Vektorräume

Question

Hallo ich soll ich beweisen, dass die Menge aller \((m \times n)\) - Matrizen einen Vektorraum bilden.



Reicht es dafür, wenn ich dafür folgenden Beweis formuliere oder ist der schon falsch?



Sei $$A:=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots &  & \vdots \\a_{m1} &\cdots &a_{mn}\end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{m\times n}$$

und sei

$$B:=\begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots &  & \vdots \\b_{m1} &\cdots &b_{mn}\end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{m\times n}$$


Dann ist die Addition durch

$$ A+B:=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ \vdots &  & \vdots \\b_{m1}+b_{m1} &\cdots &b_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots &  & \vdots \\a_{m1} &\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots &  & \vdots \\b_{m1} &\cdots &b_{mn}\end{pmatrix} $$

erklärt (solange \(A\) und \(B\) beides rechteckige Matrizen der Form \(\mathbb{K}^{m \times n}\) sind.)

Die skalare Multiplikation ist durch

$$ \lambda\cdot A:=\lambda\cdot \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots &  & \vdots \\a_{m1} &\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} \lambda\cdot a_{11} & \cdots &\lambda\cdot a_{1n} \\ \vdots &  & \vdots \\\lambda\cdot a_{m1} &\cdots &\lambda\cdot a_{mn}\end{pmatrix} $$

erklärt.



Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte

Answer 1

Hallo :-)

Reicht es dafür, wenn ich dafür folgenden Beweis formuliere oder ist der schon falsch?

Nein, du hast ja erstmal Verknüpfungen eingeführt (die habe ich etwas verschönert hingeschrieben). Ein Vektorraum \(V\) über ein Körper \(\mathbb{K}\) (kurz \(\mathbb{K}\)-Vektorraum) hat per Definition immer zwei Verknüpfungen \(+\) und \(\cdot \).

\(+\) wird dabei gerne als Addition benannt und \(\cdot \) als skalare Multiplikation. Aber Vorsicht, das muss nicht immer zwangsläufig die Addition oder Multiplikation sein, die du schon aus der Schule kennst. Es sind erstmal nur Begriffe, die im jeweiligen Kontext immer genau definiert werden, also wie die Verknüpfungen auszuführen sind.

Jetzt hast du aber erstmal nur die Verknüpfungen eingeführt. Jetzt musst du mit diesen Verknüpfungen alle Vektorraumaxiome nachrechnen. Die stehen alle in eurer Definition zum Vektorraum.

Comments

Erstmal vielen dank!

Okay das habe ich befürchtet...

Aber die Assoziativität und die Multiplikation habe ich damit bereits dann abgehakt oder? Fehlen dann also nur noch die anderen 6?

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Also von Assoziativität ist hier noch nichts zu sehen. DU musst schon echt alle Axiome durchrechnen. Im Grunde ist das nur ein Haufen Schreibarbeit, bei so riesengroßen Elementen. Halte dich knallhart an die Definition!

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Sry dass ich nochmal doof nachfrage, aber wäre dass dann der Beweis für Assoziativität? (Andere Matrizen)

Sei

A : $$\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}$$

B : $$\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}$$

C : $$\begin{pmatrix} c_1\\c_2\\c_3 \end{pmatrix}$$

Dann ist:

$$\begin{pmatrix} a_1+b_1+c_1\\a_2+b_2+c_2\\a_3+b_3+c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} c_1\\c_2\\c_3 \end{pmatrix} = (\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}) + \begin{pmatrix} c_1\\c_2\\c_3 \end{pmatrix} $$

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Das sind aber nur spezielle Matrizen, weil sie nur eine Spalte haben. Du sollst es aber für beliebige Matrizen zeigen. Außerdem ist selbst hier die Assoziativität nicht komplett gezeigt. Du sollst ja \((A+B)+C=A+(B+C)\) beweisen.

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Ich habe andere genommen wegen der Tipp-Arbeit. Mein Hauptproblem liegt einfach bei diesem Beweis... -.- Ich stehe da einfach mega auf dem Schlauch...

Ist der Ansatz denn auch wieder völlig falsch?

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Dein Ansatz geht schon in die richtige Richtung, aber du musst das ganze in dieser Art zeigen:\((A+B)+C=A+(B+C)\). Dabei immer schön die Definition der Verknüpfung \(+\) verwenden.

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Das (A + B) + C habe ich ja da stehen. (????)

Also einfach nun auf der anderen Seite A und C vertauschen??

Oder so:

$$ \begin{pmatrix} b_1 + c_1\\b_2+c_2\\b_3+c_3 \end{pmatrix}  + \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \ $$

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Ich machs mal vor:

\(\begin{aligned}&A+(B+C)\\[10pt]&=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots &  & \vdots \\a_{m1} &\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}+\left(\begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots &  & \vdots \\b_{m1} &\cdots &b_{mn}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c_{11} & \cdots & c_{1n} \\ \vdots &  & \vdots \\c_{m1} &\cdots &c_{mn}\end{pmatrix} \right)\\[30pt]&=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots &  & \vdots \\a_{m1} &\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_{11}+c_{11} & \cdots & b_{1n}+c_{1n} \\ \vdots &  & \vdots \\b_{m1}+c_{m1} &\cdots &b_{mn}+c_{mn}\end{pmatrix}\\[30pt]&=\begin{pmatrix} a_{11}+(b_{11}+c_{11}) & \cdots & a_{1n}+(b_{1n}+c_{1n}) \\ \vdots &  & \vdots \\a_{m1}+(b_{m1}+c_{m1}) &\cdots &a_{mn}+(b_{mn}+c_{mn})\end{pmatrix}\\[30pt]&=\begin{pmatrix} (a_{11}+b_{11})+c_{11} & \cdots & (a_{1n}+b_{1n})+c_{1n} \\ \vdots &  & \vdots \\(a_{m1}+b_{m1})+c_{m1} &\cdots &(a_{mn}+b_{mn})+c_{mn}\end{pmatrix}\\[30pt]&=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ \vdots &  & \vdots \\a_{m1}+b_{m1} &\cdots &a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c_{11} & \cdots & c_{1n} \\ \vdots &  & \vdots \\c_{m1} &\cdots &c_{mn}\end{pmatrix}\\[30pt]&=\left(\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots &  & \vdots \\a_{m1} &\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots &  & \vdots \\b_{m1} &\cdots &b_{mn}\end{pmatrix}\right)+\begin{pmatrix} c_{11} & \cdots & c_{1n} \\ \vdots &  & \vdots \\c_{m1} &\cdots &c_{mn}\end{pmatrix}\\[30pt]&=(A+B)+C \end{aligned}\)

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Jetzt hab ichs endlich :D Man bin ich doof. -.-

Manchmal frag ich mich, wie ichs aus der Grundschule herausgeschafft habe...

Vielen Dank für deine Geduld und noch einen schönen Abend!

Den Rest werde ich hoffentlich allein hinbekommen.

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Gerne :-) Der Rest läuft analog ab. Schönen Abend!