Grenzwert von sin und arctan bestimmen

Question

Aufgabe:

Hallo, ich habe Probleme beim Umformen eines Terms, sodass ich den Grenzwert mithilfe von elementaren Grenzwerten und Rechenregeln bestimmen kann.

Problem/Ansatz:

Das Problem ist, dass ich nicht so genau weiß, wie ich den Grenzwert in Bezug auf Sinus bzw. Arctangens bestimmen kann. Außerdem denke ich, dass 1-n/n-5 nicht weiter umgeformt werden kann, stimmt das? Ich wüsste jedenfalls nicht wie...

Das ist der Term: lim_n→∞ sin(arctan(n)) * (1 - n/(n-5))

Ich würde mich sehr über Vorschläge zur Umformung freuen, ich verzweifle grade etwas.

LG

Comments

dass 1-n/n-5 nicht weiter umgeformt

Du meinst vielmehr 1 - n/(n-5) wenn ich den Rest der Frage richtig verstanden habe.

Answer 1

Aloha :)

Da die Sinus-Funktion nur Werte zwischen \(-1\) und \(1\) annehmen kann, gilt:$$(-1)\cdot\left(1-\frac{n}{n+5}\right)\le\sin(\arctan(n))\cdot\left(1-\frac{n}{n+5}\right)\le(+1)\cdot\left(1-\frac{n}{n+5}\right)$$

Wegen \(\left(1-\frac{n}{n+5}\right)=\left(1-\frac{n+5-5}{n+5}\right)=\left(1-1+\frac{5}{n+5}\right)=\frac{5}{n+5}\) heißt das:$$-\frac{5}{n+5}\le\sin(\arctan(n))\cdot\left(1-\frac{n}{n+5}\right)\le\frac{5}{n+5}$$

Da untere und obere Grenze gegen \(0\) konvergieren, gilt:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sin(\arctan(n))\cdot\left(1-\frac{n}{n+5}\right)\right)=0$$

Answer 2

\( \sin \left(\arctan(n)\right)\left(1-\frac{n}{n-5}\right) = \frac{n\left(1-\frac{n}{n-5}\right)}{\sqrt{n^{2}+1}} \)

Aber das braucht es nicht unbedingt, der zweite Faktor vom Term links des Gleichheitszeichens strebt ja gegen 1-1.