Aloha :)
Für eine geeignetere Parametrisierung der Situation rechnen wir in Kugelkoordinaten und beschränken uns aus Symmetriegründen auf den ersten Oktanden. Zum Ausgleich müssen wir den Wert des berechneten Integrals verachtfachen:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad dV=r^2\sin\vartheta\;\;;\;\;r\ge0\;\;;\;\;\varphi\in\left[0\big|\frac{\pi}{2}\right]\;\;;\;\;\vartheta\in\left[0\big|\frac{\pi}{2}\right]$$
Mit diesem Ortsvektor \(\vec r\) müssen wir nun die folgende Menge abtasten:$$M=\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\,\big|\,x^2+y^2>4\;\land\;x^2+y^2+z^2\le16\;\land\;x,y,z\ge0\}$$
Das schränkt den Definitionsbereich für die Parameter der Kugelkoordinaten weiter ein:$$x^2+y^2+z^2\stackrel!\le16\implies r^2\le16\implies r\le4$$$$x^2+y^2=r^2\sin^2\vartheta\stackrel!>4\implies r^2>4\,\land\;\sin^2\vartheta>\frac{4}{r^2}\implies r>2\;\land\;\sin\vartheta>\frac{2}{r}$$Entsprechend müssen wir die Definitionsbereiche für \(r\) und \(\vartheta\) einschränken:$$r\in(2|4]\quad;\quad\vartheta\in\left[\arcsin\left(\frac{2}{r}\right)\bigg|\,\frac{\pi}{2}\right]$$
Damit haben wir alles zusammen, um das Volumen zu bestimmen:$$V=8\!\!\!\iiint\limits_{M\,;\;x,y,z\ge0}\!\!\!dV=8\int\limits_{r=2}^4\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}\,\int\limits_{\vartheta=\arcsin(2/r)}^{\pi/2}r^2\sin\vartheta \,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$$$\phantom{V}=8\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}\!\!d\varphi\int\limits_{r=2}^4\;\,\int\limits_{\vartheta=\arcsin(2/r)}^{\pi/2}r^2\sin\vartheta \,dr\,d\vartheta=8\cdot\frac{\pi}{2}\int\limits_2^4\left[-r^2\cos\varphi\right]_{\varphi=\arcsin(2/r)}^{\pi/2}dr$$$$\phantom{V}=4\pi\int\limits_2^4 r^2\cos\left(\arcsin\left(\frac{2}{r}\right)\right)\,dr=4\pi\int\limits_2^4 r^2\sqrt{1-\sin^2\left(\arcsin\left(\frac{2}{r}\right)\right)}\,dr$$$$\phantom{V}=4\pi\int\limits_2^4r^2\sqrt{1-\frac{4}{r^2}}\,dr=4\pi\int\limits_2^4r\sqrt{r^2-4}\,dr=4\pi\left[\frac{1}{3}(r^2-4)^{3/2}\right]_2^4$$$$\phantom{V}=4\pi\cdot\frac{1}{3}\cdot12^{3/2}=\frac{4\pi}{3}\sqrt{12^3}=\frac{4\pi}{3}\sqrt{3^3\cdot8^2}=32\pi\sqrt3$$
