Koeffizientenvergleich bei Integral von 0 bis unendlich über x^3*e^-x dx

Question

Halllo ich habe diese Funktion : Integral von 0 bis unendlich über x^3*e^-x dx bekommen und soll das mit dem koeffizientenvergleich machen, kann mir jemand behilflich sein? danke

Comments

Kann es sein, dass du annehmen sollst, dass die Stammfunktion
F(x) = (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D)* e^{-x} ist?

Nun leitest du diese vermutete Stammfunktion nach Produktregel ab und setzt das Resultat = x^3 * e^{-x}

Danach kommt der Koeffizientenvergleich und du findest A,B,C und D.

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Danke für die Antwort, ich habe das jetzt gemacht also abgeleitet und gleichgesetzt ich komme jetzt nicht mer weiter .

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Dann schreib bitte mal hin, was du da hast. Ich kann dann die Gleichungen rauslesen.

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Ich hab da jetzt stehen: (3ax^2+2bx+c)*e^x - (ax^3+bx^2+cx+d) * e^-x = x^3*e^-x

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In der ersten zeile musste das auch e hoch minus x sein

Answer 1

Koeffizientenvergleich
Bezieht sich auf deine Ableitung im Kommentar oben:
 

durch e^{-x} kannst du teilen. Dann sind die 'e hoch' weg.
nun der Vergleich:

x^3 : -ax^3 = x^3 also -a=1
x^2: 3a-b=0
x:      2b-c=0
Rest:  c-d =0

x^3 : -ax^3 = x^3 also -a=1, somit a=-1
x^2: 3a-b=0 -----> -3 -b=0 → b=-3
x:      2b-c=0 ---> -6 -c=0 → c=-6
Rest:  c-d =0  -----> -6 -d=0 → d=-6

Wenn da jetzt alles gestimmt hat, die gesuchte Stammfunktion

F(x) = (-x^3 -3x^2-6x-6)*e^{-x} + C

Das bestimmte Integral ist dann:

F(unendlich) - F(0) = 0 - (-6)*e^0 = 6

Unbedingt nochmals nachrechnen. Auch wenn die Kontrolle stimmt: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-x%5E3+-3x%5E2-6x-6%29*e%5E%28-x%29

Comments

Vielen lieben danke, super hilfe :) nur wieso ist : --ax^3= x^3 also ich verstehe nicht wie die x hoch drei da rüber kommt ?

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Du musst links und rechts gleich viele x^3, x^2, x, ... haben.

-ax^3 = 1x^3

Die übrigen sind dann rechts ja Null mal vorhanden.