Mit Banach'schen Fixpunktsatz Gleichung zeigen

Question

Verwenden Sie den Banach'schen Fixpunktsatz um zu zeigen, dass die Gleichung

$$ x^{2}+3=e^{x} $$

im Intervall [0,unendlich) genau eine Lösung hat.

Ich weiß zwar was der banach'sche Fixpunktsatz ist, aber wirklich helfen tut mir das nicht.

Answer 1

Aloha :)

Wir suchen eine Lösung der Gleichung \(x^2+3=e^x\) in \(\mathbb R^{\ge0}\). Dazu schreiben wir die Gleichung in eine Fixpunkt-Form um, indem wir beide Seiten logarithmieren:$$x=\ln(x^2+3)\eqqcolon f(x)$$

Der Banach'sche Finxpunktsatz garantiert uns die Existenz genau eines Fixpunktes, falls \(f(x)\) eine Kontraktion ist. Dazu prüfen wir, ob der Betrag der Ableitung für alle \(x\) kleiner als ein fester Wert \(L\) ist, der seinerseits kleiner als \(1\) sein muss.$$\left|f'(x)\right|=\left|\frac{2x}{x^2+3}\right|\stackrel?<L\stackrel!<1$$Die Extrema der Funktion finden wir durch Nullsetzen der Ableitung:

$$0\stackrel!=\frac{2\cdot(x^2+3)-2x\cdot2x}{(x^2+3)^2}=\frac{-2x^2+6}{(x^2+3)^2}\implies2x^2=6\implies x=\pm\sqrt3$$Wegen des Vorzeichens ist klar, dass bei \(x=-\sqrt3\) ein Minimum und bei \(x=+\sqrt3\) ein Maximum vorliegt. Da uns nur der Bereich \(x\ge0\) existiert, finden wir das Maximum bei \(x=\sqrt3\). Damit ist:$$\left|f'(x)\right|\le\left|\frac{2\sqrt3}{(\sqrt3)^2+3}\right|=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{\sqrt3}=L<1\quad\checkmark$$

Damit hat die Gleichung \(x^2+3=e^x\) in \(\mathbb R^{\ge0}\) genau eine Lösung.

Answer 2

Hallo :-)

Wandel deine Gleichung in eine Fixpunktgleichung um und rechne nach, dass diese Gleichung die Aussagen von Banachschen Fixpunktsatz erfüllt. Die kann zb so aussehen:

\(x=\underbrace{\ln(x^2+3)}_{=:\phi(x)}\)

Erfüllt \(\phi\) die Aussagen, dann konvergiert die zugehörige Rekursion \(x_{n+1}:=\phi(x_n)=\ln(x_n^2+3)\) für jeden Startwert \(x_0\in [0,\infty)\) gegen den Fixpunkt \(x^*\in [0,\infty)\) und es gilt somit \(\phi(x^*)=x^*\).