Funktionenschar: f(x)= ax-ln(x)

Question

Aufgabe:

Funktionenschar:
f(x)=ax-ln(x), a>0 und x>0

Aufgabe 1: Berechne die Nullstellen der Funktionenschar. Für welchen Wert von a besitzen die Scharkurven keine Nullstellen?

Aufgabe 2: Vom Punkt P(0/0,5) werden Tangenten an die Kurvenschar gelegt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes in Abhängigkeit von a!

Problem/Ansatz:

Hallöchen an alle, ich komme bei diesen beiden Aufgaben nicht weiter.

Mein Problem bei der ersten Aufgabe ist, dass ich die Funktionenschar nicht nach x umgestellt bekomme.

Bei der zweiten Aufgabe ist es so ähnlich. Ich habe schon im Internet gesucht und finde immer wieder den Überbegriff "Tangenten von außen". Wenn ich allerdings die Schritte befolge, die in sämtlichen Videos angegeben sind, komme ich zu dem Punkt, dass ich die Funktion nicht ordentlich nach der Variable umgestellt bekomme.

Vielleicht kann mir dabei ja jemand helfen, ich wäre sehr dankbar!

Answer 1

Aufgabe 1: Berechne die Nullstellen der Funktionenschar. Für welchen Wert von a besitzen die Scharkurven keine Nullstellen?

f(x) = a·x - LN(x)

f'(x) = a - 1/x = 0 --> x = 1/a

f(1/a) = a·(1/a) - LN(1/a) = 1 - LN(1/a) > 0 --> a > 1/e

Aufgabe 2: Vom Punkt P(0/0,5) werden Tangenten an die Kurvenschar gelegt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes in Abhängigkeit von a!

(f(x) - 0.5)/(x - 0) = f'(x) --> x = √e