Wie hoch muss Tanja den Messbecher jeweils für folgende Volumina füllen?

Question

Aufgabe:

: Tanja hat einen kegelförmigen Messbecher in ihrer Küche. Leider ist die Skala nach
mehrfacher Reinigung in der Geschirrspülmaschine nicht mehr erkennbar.
Der Messbecher ist 23 cm hoch und hat einen Durchmesser von 13 cm.
Wie hoch muss Tanja den Messbecher jeweils für folgende Volumina füllen?
a) 100 ml b) ¼ Liter c) 375 ml d) ¾ Liter

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider NICHTS in Mathe... diese Aufgabe wird benotet (am Montag den 17.05.21 sollen wir die abgeben) und ich sitze seit 2 Stunden daran und komme leider nicht darauf, wie man das ausrechnet... Wir / Ich brauchen / brauche den genauen Rechenweg.

Ich bitte um schnelle Hilfe.

Vielen Dank.

Answer 1

Hier nur die Grundlagen

Strahlensatz

r/(13/2) = h/23 → r = 13/46·h

Volumenformel

V = 1/3·pi·r^2·h = 169/6348·pi·h^3 → h(V) = (6348·V/(169·pi))^(1/3)

und meine Kontrolllösungen

a) h = 10.61 cm
b) h = 14.41 cm
c) h = 16.49 cm
d) h = 20.78 cm

Comments

Vielen Dank.!

Ich verstehe den Rechenweg nur nicht so ganz. Was sind die 169/6348?

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Könntest du/Sie mit Aufgabe a vorrechnen?

Also Schritt für Schritt, damit ich das verstehe?

LG Niclas

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Du solltest den Strahlensatz auflösen in die Funktion einsetzen und diese dann vereinfachen. Dann die Funktion nach h auflösen. Wobei hast du genau Schwierigkeiten?

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Ich verstehe diese ganze Aufgabe nicht. :(

Ich versteh nicht, wo ich das einsetzen muss und versteh die ganze Formel nicht, egal wie doll ich versuche es zu verstehen....

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Wenn du nicht mal den Strahlensatz und die Volumenformel von einem Kegel verstehst, dann bin ich raus. Das kann ich hier nicht textlich nachholen. Dann solltest du dir zunächst für die Grundlagen ein paar Erklärvideos ansehen.

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Ich weiß schon, wie ich das einsetzen muss..

Aber woher kommen diese Zahlen 169/6348??

Sorry, wenn ich dich aufrege oder so aber ich bin dir echt dankbar, dass du dir die Zeit nimmt, um mir das zu erklären.

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Setze den gefundenen Wert für r vom Strahlensatz in die Volumenformel für r ein. Vereinfache die Formel dann.

Du solltest das machen. Wenn du auf etwas anderes kommst, dann können wir das Problem klären.

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Ich habe das jetzt so:

V= 1/3 ^. pi ^. 6,5^{2 .} 23

und da kommt 1017,61422 raus. Was muss ich jetzt mit dieser Zahl machen?

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Wenn du jetzt weißt, dass wen man einen Anteil von p an der Füllhöhe nimmt, dass das Volumen dann auf einen Anteil von p^3 fällt könntest du so rechnen

a)

p^3 * 1017.61 = 100 --> p = 0.46147

0.46147 * 23 = 10.61 cm

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Das ist mir so peinlich...

aber.. was ist jetzt p³?

Wenn ich 0.46147^{3 .} 1017.61 rechne kommt aber 10000.27136 raus...

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p³ = p * p * p

Entfern mal das Brett vorm Kopf. Das behindert die Sicht auf die wichtigen Dinge :)

Und überlass das Rechnen mal einem Taschenrechner

0.46147^3·1017.61 = 100.0027136

Ich weiß nicht genau. Du scheinst dich da mit den Zehnerpotenzen irgendwie verdaddelt zu haben.

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aber wie kommt man denn auf diese 0.46147³ ? und was muss ich mit dieser 100.0027136 machen?

Ich hoffe, du merkst, das ich mich bemühe, das zu verstehen....

Kannst du mir Aufgabe a so einfach wie möglich vorrechnen?

Auf meinem Blatt steht bis jetzt nur:

a)

r = 6,5 cm

h = 23 cm

V = 1/3 ^. pi ^. r^{2 .} h

V = 1/3 ^. pi ^. 6,5^{2 .} 23

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Hallo,

am besten machst du dir erst einmal eine Skizze:

und betrachtest die rechte Seite des Querschnitts vom Messbecher.

Nach dem 2. Strahlensatz gilt:

\(\frac{r}{6,5}=\frac{h}{23}\)

Diese Gleichung kannst du nach r auflösen, indem du auf beiden Seiten mit 6,5 multiplizierst:

\(r=\frac{6,5h}{23}\)

Die rechte Seite der Gleichung setzt du in die Volumenformel des Kegels für r ein:

\(V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot \bigg(\frac{6,5h}{23}\bigg)^2\cdot h\)

Das Volumen kennst du, also

\(100=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot \bigg(\frac{6,5h}{23}\bigg)^2\cdot h\)

Jetzt formst du um:

\( 100=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot \frac{40,25h^2}{529}\cdot h\\ 100=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot \frac{40,25h^3}{529}\\ 100=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot \frac{40,25}{529}\cdot h^3\\ 95,49=\frac{40,25}{529}\cdot h^3\\ 1195,60=h^3\\10,61=h\)

Ist es jetzt klarer?

Gruß, Silvia

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Hallo, danke für deine Antwort.

Ich verstehe nicht, wie man auf manche Zahlen kommt...

z.B. wie kommt man auf diese 40,25 (bei jetzt formst du um)?

LG Niclas

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Ich habe die Klammer ausmultipliziert:

\( \bigg(\frac{6,5h}{23}\bigg)^2=\frac{6,5^2h^2}{23^2}=\frac{40,25h^2}{529}\)

Answer 2

Meßbecher = Kegelform
h = 23 cm
d = 13 cm
r = 6.5 cm

Herleitung der Formel
Kann ich dir leider nicht erklären
wäre zu kompliziert

Steigung = 6.5 / 23
y = 6.5 / 23 * x
A = y^2 * pi
A = ( 6.5 / 23 * x )^2
A = 0.08 * x^2 * pi
A = 0.251 * x^2

V = Volumen 0.251 * x^3 / 3
x = Füllhöe in cm
V = Volumen in cm^3

Formelanwendung
Die Anwendung der Formel genügt
zum Ausrechnen

a.)
100 ml = 0.l Liter = 100 cm^3
V ( x ) = 0.251 * x^3 / 3 = 100
x ^3 = 11952.19
x = 10.61 cm

b.) V = 1/4 Liter = 250 cm^3

250 cm^3 = 0.251 * x^3 / 3
nach x umstellen und ausrechnen

Comments

Danke für deine Antwort.

Ich versteh das immer noch nicht..

bei a)

100 ml = 0.l Liter = 100 cm3
V ( x ) = 0.251 * x3 / 3 = 100
x 3 = 11952.19
x = 10.61 cm

Was muss ich für x einsetzen? (Füllhöhe in cm.. aber die ist doch nicht gegeben oder?)

LG

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Was muss ich für x einsetzen? (Füllhöhe in cm.. aber die ist doch nicht gegeben oder?)
Du sagst es.
Gegeben ist allerdings das Volumen
V = 100 cm^3

V ( x ) = Volumen = 0.251 * x^3 / 3
V ( x ) =  0.251 * x^3 / 3 = 100
0.251 * x^3 / 3 = 100  | * 3
0.251 * x^3  = 100 * 3 | / 0.251
x^3 = 300 / 0.251
x^3 = 1195.22  | 3.Wurzel ziehen
x = 10.61 cm

Answer 3

Unter der Voraussetzung, dass der Messbecher gerade steht, ist der gestrichene Kegel der Füllung ähnlich zum kegelförmigen Messbecher, sodass sich entsprechende Längen wie die Kubikwurzeln der Volumina verhalten. Für die Markierungsfunktion ergibt sich daher: $$h(V) = \sqrt[3\:]{\dfrac{V}{V_B}}\cdot h_B = \sqrt[3\:]{\dfrac{V}{\dfrac{\pi\cdot 6.5^2\cdot 23}{3}}}\cdot 23 = \sqrt[3\:]{\dfrac{3\cdot 23^2\cdot V}{\pi\cdot 6.5^2}}$$ Darin ist \(V_B\) das Bechervolumen in ml, \(h_B\) die Becherhöhe in cm, \(V\) das Füllungsvolumen in ml und \(h(V)\) die dazu passende Markierungshöhe in cm.