Berechnen sie F(a) und zeigen sie dass b teilmenge von kern F ist. Ist F injektiv?

Question

Problem/Ansatz:

Was ist F(a) in diesem Zusammenhang ? Ich weiß das F kern dann injektiv ist wenn es den Nullvektor enthält.

a) \( A=\left(\begin{array}{rrrr}3 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 3\end{array}\right) \)
\( a=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \quad b=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right) \)
\( c=\left(\begin{array}{l}4 \\ 4 \\ 4 \\ 4\end{array}\right) \)

Answer 1

Aloha :)

\(F(a)\) bekommst du, indem du \(\mathbf A\cdot\vec a\) berechnest:$$\vec F(a)=\left(\begin{array}{rrrr}3 & 1 & 1 & -1\\1 & 3 & -1 & 1\\1 & -1 & 3 & 1\\-1 & 1 & 1 & 3\end{array}\right)\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\4\\4\\4\end{pmatrix}$$

\(\vec b\) ist Teilmenge des Kerns, wenn \(\mathbf A\cdot\vec b=\vec 0\) ist. Wir prüfen das nach:$$\vec F(b)=\left(\begin{array}{rrrr}3 & 1 & 1 & -1\\1 & 3 & -1 & 1\\1 & -1 & 3 & 1\\-1 & 1 & 1 & 3\end{array}\right)\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}\quad\checkmark$$

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird. Da bei jeder linearen Abbildung die Null auf die Null abgebildet wird, hier also auch \(\vec F(\vec 0)=\vec 0\) gilt, und zusätzlich \(\vec F(\vec b)=\vec 0\) ist, wird der Nullvektor als Ziel aber 2-mal getroffen. Die Abbildung ist also nicht injektiv.

Comments

danke hat mir sehr weitergeholfen :D

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Hallo, noch eine verständnisfrage bei Menge F^-1(c) aller v ∈ R^4 mit F(v) = c. Muss ich das inverse der Matrix A bilden und gleich dem vektor c setzten ?, vielen dank im voraus

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Dafür musst du die inverse Matrix mit dem Vektor \(c\) multiplizieren. Die inverse Abbildung wirkt ja auf den Vektor \(c\), daher die Multiplikation.