Funktionsscharen: Analysis Algebra

Question

Aufgabe:1.

Gegeben sind die beiden Kurvenscharen
f k(x ) = -1/3x^3 +k^2. x und gk(x) = k.(-x^2 +4)  mit k > 0, (x Element von R)
a) Bestimmen Sie von den beiden Scharen das Symmetrieverhalten, die Nullstellen sowie die -Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte.
b) Bestimmen Sie „k“ so, dass die Graphen von f (x) und g(x) für x = 3 denselben Funktionswert haben.
c) Nun sei k = 3. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente t von f 3(x ) sowie den Schnittpunkt von t mit dem Graphen von g3(x) mit positiver „x“ – Koordinate.

Analysis

Problem/Ansatz:

Tangente

Comments

Verstehe ich das richtig, dass du a und b gelöst hast und Hife bei c brauchst?

Answer 1

Hallo

f3 bilden, dann f3''=0 für den Wendepunkt, bei x=0 dann die Steigung f'(0) bei x=0 und die Gerade durch  0 mit der Steigung ist Tangente.

diese einfache Gerade mit g3(x) schneiden, gefragt nur nach dem Wert x>0

( bitte benutze keine Punkte also Satzzeichen statt Mal *)

Gruß lul

Answer 2

Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

xo=Stelle,wo die Tangente die Funktion f(x)=... berühren (tangieren) soll

bei dir xo=xw → Wendepunkt

1) Wert f(xo)=f(xw)=... ausrechnen

2) Funktion ableiten f´(x)=...

3) Wert f´(xo)=f´(xw)=..

f(xw)=.. und f´(xw)=.. eingesetzt ergibt dann die Wendetangente.

Text erkannt:

Tangente/Normale an \( f(x) \) Sehr oft vird die Tangentengleichung und/oder die Sormalengleicheng an der Punktion \( f(x) \) gesucht. Die Stelle,vo die Tangente oder Normale 1fegen soll,vird oft \( m i t \) he bexeschnet
Tangente und Normale sind eine Gerade der Porm \( y=f(x)=m^{*} x+b \)
Formeln sindt "Tangentengleichung" \( y t=f t(x)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}(x-x o)+f\left(x_{0}\right) \)
"Normaleng leichung" \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}\left(x-x_{0}\right)+f(x 0) \)
Her leitung Geradengleichung \( y=f(x)=m^{*} x+b \) und xo ist die stelle, wo die Tangente/Normale 1iegen soll. gegeben ist die Punktion \( \mathrm{f}(x) \). Steigung "w" an der Stel1e "xo" ist m-f' (xo) diese ist die 1,te Ableitung der Funktion \( f(x) \), also \( f^{\prime}(x) \). ergibt \( y t=f_{t}(x)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+b \) mit \( x=x \circ \) und gleichgesetzt \( f\left(x_{0}\right)=y t \)
\( f(x 0)=f^{\prime}(x 0)^{*} x o+b \) ergibt \( b=f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)=x_{0} \)
a1so \( y t=f t(x)=f^{\prime}(x 0)^{*} x+f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x 0=f^{\prime}\left(x_{0}\right) *(x-x 0)+f\left(x_{0}\right) \)
selber Rechenwee wit der Normalengleichung mit \( y=f(x)=\ln * x+b \)
Bedingung fur eine Normale \( m 2=-1 / m 1 \) hier ist \( m 1=f^{\prime}(x \circ) \)
efngesetzt \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+b \) mit \( b=f(x 0)+1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{* x_{0}} \)
ergibt \( y n=f n(x)=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x+f\left(x_{0}\right)+1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*} x o=-1 / f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{*}\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right) \)
\( \underline{\text { Ubungsbeispie1 }} \) gegeben:Die Punktion \( y=f(x)=x^{2} \) ist eine Parabel
gesucht:D1e Tangentengleichurg und die Normalengleichung an der Losung: \( f(x)=x^{2} \) abgeleftet \( f^{\prime}(x)=2^{*} x \) mit \( x 0=2 \) ergibt \( f(2)=2^{2}=4 \)
\( f^{\prime}(2)=2 * 2=4 \) Werte in die Formeln eingesetzt.
"Tangentengleichung" \( y t=f t(x)=4^{*}(x-2)+4=4 * x-8+4=4 * x-4 \) "Sormalengleichung" \( y n=f n(x)=-1 / 4^{*}(x-2)+4 m-1 / 4^{*} x+1 / 2+4=-1 / 4 * x+4,5 \)