Zeige, dass der Raum Cn als Vektorraum über R aufgefasst werden kann.

Question

Aufgabe:

1. Sei n ∈ N. Zeige, dass der Raum Cn als Vektorraum über R aufgefasst werden kann. Die Addition (2+2*) und skalare Multiplikation sind dabei wie für einen allgemeinen Vektorraum V = Kn
definiert, wobei die entsprechenden Skalare λ aus R sind. Bestimme eine Basis und die Dimension
dieses Vektorraumes.

2. Ist der Raum Rn auch ein Vektorraum über Q? Welche Dimension hätte dieser?

Problem/Ansatz:

Bei der 1. Aufgabe hab ich jetzt als Ansatz einfach die Gruppenaxiome, und eben die Rechenregeln für einen vektorraum und als Dimension hab ich dann am Ende 2*n rausbekommen.

Nur bei der Basis bin ich mir irgendwie nicht ganz sicher bei, also wie man diesen in Abhängigkeit von n angeben kann, weil die Anzahl der Elemente in der Basis ja von dem n abhängen.

Und zu Aufgabe 2. dazu hätte ich den Ansatz, dass R ein unendlich dimensionaler vektorraum über Q ist. Aber wie macht man das mit R^n? Ist das wieder ein unendlich dimensionaler VR?

Answer 1

Nur bei der Basis bin ich mir irgendwie nicht ganz sicher

Sei \(\mathcal{S}_1\) die Standardbasis von \(\mathbb{R}^n\).

Sei \(\mathcal{S}_\mathrm{i} = \left\{\mathrm{i}v|v\in \mathcal{S}_1\right\}\).

Dann ist \(\mathcal{S}_1\cup\mathcal{S}_\mathrm{i}\) eine Basis von \(\mathbb{C}^n\) als \(\mathbb{R}\)-Vektorraum.

Ist das wieder ein unendlich dimensionaler VR?

Ja.

Comments

Also wäre bei der 1 meine Dimension von 2*n richtig oder?

Und danke:)