Wie lauten die Änderungsfaktoren? Kapital nach 10 Jahren?...

Question

Aufgabe:

Für die Einlagen auf einem deutschen Sparbuch bekommt ein Sparer
einen jährlichen Zinssatz von 0.5%, auf einem italienischen Sparbuch von −0.5%. Wie lauten
die Änderungsfaktoren pro Jahr für diese Sparbücher? Er hat ein Startkapital von 1000 Euro
und legt diese zuerst zehn Jahre auf dem italienischen und dann zehn Jahre auf dem deutschen
Konto an. Wieviel Prozent des Kapitals hat er nach insgesamt zwanzig Jahren? Wie groß ist
der mittlere jährliche Zins für die gesamten zwanzig Jahre?

Problem/Ansatz:

i) q(de) = 1,005 q(it) = 0,995

ii) K0 = 1000 Euro

K10  = 1000 x 1,005^10  = 1051,14 Euro

Kneu = 1051,14 Euro

K10 = 1051,14 x 0,995^10 = 999,75

iii) 1 - (999,75/1000) = 0,00025% Verlust

iiii) 5 Euro x 10 + -5 Euro x 10 =  0 → 0/20 = 0

bissl neben der spur

Answer 1

a) 1.005 für das deutsche und 0.995 für das italienische Konto.

b) 0.995^10·1.005^10 = 0.99975 = 99.98%

c) (0.995^10·1.005^10)^(1/20) - 1 = -1.250007812·10^(-5) = -0.00125 %

Comments

warum machste hoch 1/20 und nicht mal 1/20 bzw. nach welche Formel gehst du bei c) vor?

Answer 2

f(x)=b*a^(x)

K(t)=Ko*a^(t)

Ko=1000 €  Kapitel bei t=0 → K(0)=Ko*a⁰=Ko*1=Ko

p=0,5 %

K(1)=Ko+Ko/100%*0,5%)Ko*(1+0,5%/100%)=Ko*(1+0,005)

a=1+p/100%=1,005 → exponentielle Zunahme

K(t)=1000 €*1,05^(t)

p=-0,5%

K(1)=Ko-Ko/100%*0,5%=Ko*(1-0,5%/100%)=Ko*(1-0,005)

a=1-p/100%=1-0,005=0,995 → exponentielle Abnahme

K(t)=1000 €*0,995^(t)

t=10 Jahre bei p=0,5% Deutschland

K(10)=1000 €*1,005^1⁰=1051,14 €

t=10 Jahre in Italien

K(10)=1000 €*0,995^1⁰=951,11 € Velust Inflation

Den Rest schaffst du selbera=1-p/100%=1-0,005=0,995

Text erkannt:

Siehe Mathe-Forme1buch,was man privat in jedem Buchladen bekommt. Formel: \( y=f(x)=a^{x} \) mit a \( E P \) und \( a>0 \) und a unGleich 1 x 5 p \( \quad f(x+1)=f(x) *_{a} \)
Mit \( e^{x *} \ln (a)=a^{x} \) kann \( y=f(x)=a^{x} \) durch \( S_{t r e c k u n g / S} \) tauchung mit \( \ln (a \)
aus der e-Funktion gewonnen werden. Durchläuft in \( f(x)=c^{*} a^{x}(c \neq 0 \) und \( a>0 \) und \( a \neq 1) \) das Argument \( x \) eine "arithmetische Folge", so durchlauft der Funktionswert \( f(x) \) afno n eine "geometrische Folge" Die "Exponentialfunktion" kommt in folgender Form vor:
1) \( N(t)=N_{0} \cdot a^{t} \quad \) No=Anfangswertrzum Zeit punkt \( t=0 \quad N(0)=N_{0} \neq_{a}^{0}=N_{0} * 1 \)
2) \( N(t)=N_{0} * e^{-b * t} \) Formel fúr den radioaktiven Zerfall No=zerfallsfahige Atonkerne zum Zeitpunkt \( \mathrm{t}=0 \) (Anfangswert) b= Zerfallskonstante, abhAngig vom Materia. T=Halbwertszeit, hier sind von No die Hälfte aller zerfallsfähigen Atomkerne zerfallen. \( N(T)=\mathrm{No} / 2 \)
daraus errechnet sich die "Zerfallskonstante" b \( \mathrm{N}(\mathrm{T})=\mathrm{No} / 2=\mathrm{No}^{*} \)
\( 1 / 2=\mathrm{e}^{-\mathrm{b}^{*} \mathrm{~T}} \) logarithmiert ergibt \( \ln (0,5)=-\mathrm{b}^{*} \mathrm{~T} \) ergibt \( \mathrm{b}=\ln (0,5) /-\mathrm{T} \)
nach 1 Jahr \( \mathrm{K}(1)=\mathrm{K}_{0}+\mathrm{K}_{0} / 100 \% * \mathrm{p}=\mathrm{K}_{0} *(1+\mathrm{p} / 100 \%) \)
\( a=(1+p / 100 \%) \) ergibt die Forme1
\( \underline{K(t)=K_{0} *(1+p / 100 \%)^{t}} \)
Beispiel: "exponetielle A bnahme" Anfangskapital \( \mathrm{Ko} \) nach 1 Jahr \( K(1)=K_{0}-K_{0} / 100 \% * p=K_{0} *(1-p / 100 \%) \)
\( a=(1-p / 100 z) \)
\( K(t)=K o *(1-p / 100 q)^{t} \)

~plot~1000*1,005^x;1051;[[-2|15|800|1100]];x=10~plot~