Beweisen Sie die Vollständige Induktion

Question

Ich habe diese Aufgabe, aber komm da nicht mit klar. Wenn mir die vlt. mittels Lösungsweg jmd. aufschlüsseln kann, damit ich sehe wo es hackt wäre toll

Sei \((F,\oplus,\odot)\) ein Körper. Zeigen Sie durch vollständige Induktion (nach \(n\in \mathbb{N}\)):          
\((x\oplus y)^n=\bigoplus\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot x^{n-k}\odot y^k,\quad x,y ∈ F, n∈ ℕ\)

Answer 1

Hallo :-)

Der Induktionsbeweis ist ganz analog zum rellen Fall. Hier musst du halt mit den Axiomen vom Körper \(F\) (ist irgendein Körper...) rechnen.

Answer 2

Hallo Mari-Mi,

wie schon erwähnt, läuft der Beweis so wie auch im Fall der reellen Zahlen.

Induktionsanfang für \(n=1\) ist$$\begin{aligned}(x \oplus y)^1 &= \bigoplus\limits_{k=0}^1 {1 \choose k} x^{1-k} \odot y^k \\&= x^1 \odot 1 \oplus 1 \odot y^1 = x \oplus y \quad \checkmark \end{aligned}$$und der Übergang von \(n\) nach \(n+1\) geht wie folgt$$(x \oplus y)^{n+1} \\ \begin{aligned}\space&= (x \oplus y)^n \odot (x \oplus y) &&(1) \\ &= \left( \bigoplus\limits_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} \odot y^k \right) \odot (x \oplus y)&&(2) \\&= \left( \bigoplus\limits_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k+1} \odot y^k \right) \oplus \left( \bigoplus\limits_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} \odot y^{k+1} \right) \\&= x^{n+1} \oplus \left( \bigoplus\limits_{k=1}^n {n \choose k} x^{n-k+1} \odot y^k \right) \oplus \underbrace{\left(\bigoplus\limits_{k=0}^{n-1} {n \choose k} x^{n-k} \odot y^{k+1}\right)}_{k \to k-1}  \oplus y^{n+1} &&(4) \\&= x^{n+1} \oplus \left( \bigoplus\limits_{k=1}^n {n \choose k} x^{n-k+1} \odot y^k \right) \oplus \left(\bigoplus\limits_{k=1}^{n} {n \choose k-1} x^{n-k+1} \odot y^{k}\right) \oplus y^{n+1} &&(5) \\&= x^{n+1} \oplus \left( \bigoplus\limits_{k=1}^n {n+1 \choose k} x^{n-k+1} \odot y^k \right) \oplus y^{n+1} \\&= \bigoplus\limits_{k=0}^{n+1} {n+1 \choose k} x^{(n+1)-k} \odot y^k \end{aligned}$$In der Zeile (1) setze ich die Induktionsvoraussetzung ein. In der Zeile (2) mache ich vom Distributivgesetz Gebrauch. In der Zeile (4) ersetze ich in der zweiten Summe den Index \(k\) durch \(k-1\). In der Zeile (5) werden die Summanden mit gleichen Exponenten zusammen gefasst und außerdem mache ich dort von folgendem Zusammenhang Gebrauch$${n\choose k} + {n \choose k-1} = {n+1 \choose k} $$Gruß Werner