Aufgabe:
Sei \( \mathbb{H} \) der Schiefkörper der Hamiltonschen Quaternionen. Wir verwenden die Bezeichnungen aus der Vorlesung. Für \( A \in \mathbb{H} \) sei \( T(A):=\frac{1}{2}\left(A+A^{*}\right)\left(\right. \) mit \( \left.A^{*}=\bar{A}^{t}\right) \). Zeige für alle \( A, B \in \mathbb{H} \) :
(a) \( \langle A, B\rangle E_{0}=T\left(A B^{*}\right)=T\left(B A^{*}\right) \).
(b) \( B A B=2\left\langle A^{*}, B\right\rangle B-\langle B, B\rangle A^{*} \).
Hinweis zu (b): Berechne \( T(B A) \).
Text erkannt:
Sei \( H \) der Schiefkörper der Hamiltonschen Quaternionen. Wir verwenden die Bezeichnungen aus der Vorlesung. Für \( A \in \mathbb{H} \) sei \( T(A):=\frac{1}{2}\left(A+A^{*}\right)\left(\operatorname{mit} A^{*}=\bar{A}^{t}\right) \). Zeige für alle \( A, B \in \mathbb{H} \) :
(a) \( \langle A, B\rangle E_{0}=T\left(A B^{*}\right)=T\left(B A^{*}\right) \).
(b) \( B A B=2\left\langle A^{*}, B\right\rangle B-\langle B, B\rangle A^{*} \).
Hinweis zu (b): Berechne \( T(B A) \).
Problem/Ansatz:
Hallo, ich komme bei der Aufgabe leider gar nicht voran. Ich versuche bei a) anhand von T zu rechnen, aber ich bekomme nichts sinnvolles heraus.
