Sei ABC ein Dreieck, beweise!

Question

Aufgabe:

Sei ABC ein Dreieck, P und Q die Enden der Höhen A und B und M der Schnittpunkt der Höhen.

Zeige, dass ||AB||² = AP * AM + BQ * BM

Problem/Ansatz:

||AB||² = AP * AM + BQ * BM (alles Vektoren)

= ||AP|| * ||AM|| * cos(0°) + ||BQ|| * ||BM|| * cos(0°)

= ||AP|| * ||AM|| + ||BQ|| * ||BM|| (weil cos(0°) = 1)

Bringt mich das irgendwie weiter? Was könnte man noch machen?

Comments

Was könnte man noch machen?

Ein paar mal den Satz des Pythagoras anwenden, mehr ist nicht nötig.

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Ein paar mal den Satz des Pythagoras anwenden, mehr ist nicht nötig.

das geht aber erst dann, wenn man alle dazu notwendigen rechtwinkligen Dreiecke gefunden hat. Und genau das ist das Problem!

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Text erkannt:

\( \frac{d}{A} d p^{B} \)

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Hilft das vielleicht?

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Mit der vorgelegten Skizze hast du sie alle gefunden (es gibt sechs Stück von denen aber nur vier relevant sind, nämlich genau diejenigen, bei denen du die rechten Winkel markiert hast).

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Habe es geschafft, indem ich die Vektoren AP und BQ in AB + BP und BA+AQ aufgeteilt habe. Damit wusste ich, dass BP * AM = 0 ist genauso wie AQ * BM = 0

also blieb AB * AM + BA * BM übrig

= AB*AM - AB*BM

Dann habe ich AB ausgeklammert:

= AB * (AM-BM)

= A B * AB

= AB^2

= ||AB||^2

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@yodabasten: Du meinst so - oder?$$\begin{aligned} \quad &\vec{AP} \cdot \vec{AM} + \vec{BQ} \cdot \vec{BM} \\ &= (\vec{AB} + \vec{BP})\cdot \vec{AM} + (\vec{BA} + \vec{AQ})\cdot \vec{BM} \\&= \vec{AB} \cdot \vec{AM} + \underbrace{\vec{BP}\cdot \vec{AM}}_{\vec{BP} \perp\vec{AM} \to 0} + \vec{BA}\cdot \vec{BM} + \underbrace{\vec{AQ}\cdot \vec{BM}}_{\vec{AQ}\perp \vec{BM} \to0} \\&= \vec{AB} \cdot \vec{AM} - \vec{AB}\cdot \vec{BM} \\&= \vec{AB} \cdot \vec{AM} + \vec{AB}\cdot \vec{MB} \\&= \vec{AB} \cdot \underbrace{(\vec{AM} + \vec{MB})}_{=\vec{AB}} \\&= \vec{AB}^2 = |AB|^2 \end{aligned}$$Prima! Sehr gut!

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Genau so, danke!

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Meine Tipps gingen von einer Aufgabe ohne Vektorrechnung aus.

Mit den Bezeichnungen

wird nämlich
2c^2  =  c^2 + c^2 = (r+p)^2 + u^2  +  (s+q)^2 + v^2
          =  r^2 + 2rp + p^2 + u^2  +  s^2 + 2sq + q^2 + v^2
          =  r^2 + 2rp + s^2  +  s^2 + 2sq + r^2
          =  2r^2 + 2rp +  2s^2 + 2sq
c^2  =  r^2 + rp + s^2 + sq =  r·(r+p) + s·(s+q) .

Answer 1

ohne Zeichnung läuft bei solchen Aufgaben nix.

Mach esrt aml eine Zeichnung und stell dir hier rein,damit man einen Überblick hat

1) Großbuchstaben benutzt man für Punkte

2) Kleinbuchstaben (mit einen kleinen Pfeil darüber) für Vektoren

A(ax/ay/az) → Ortsvektor a(ax/ay/az)

B(bx/by/bz) → Ortsvektor b(bx/by/bz)

C(cx/cy/cz) → Ortsvektor c(cx/cy/cz)

Richtungsvektor m von Punkt A nach Punkt B → b=a+m → AB=m=b-a

AC=m=c-a

BC=m=c-b

Geradengleichung in Raum g: x=a+r*m Gerade A nach B x=a+r*(b-a)