Welche der Abbildungen sind linear?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Abbildungen sind linear?

(i) $\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \mapsto x+2 y$
(v) $\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l}x+1 \\ y-1\end{array}\right)$
(ii) $\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \mapsto x+y^{2}$
(vi) $\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}x-y \\ x+2 y\end{array}\right)$
(iii) $\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \mapsto x y$
(vii) $\mathbb{R}_{n}[x] \rightarrow \mathbb{R}, \quad p(x) \mapsto p(1)$
(iv) $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, \quad z \mapsto \bar{z}$
(viii) $\mathbb{R}_{n}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{n+2}[x], \quad p(x) \mapsto x^{2} p(x)$

Answer 1

Hallo

du musst doch nur überprüfen ob r*f(x)=f(r*x) und f(x)+f(y)=f(x+y)  am schnellsten oft ob f(0)=0 damit fliegt (v) schon raus.

die Rechnungen sind alle einfach, also lohnt es sich nicht sie alle hier aufzulisten,

Gruß lul