Zeigen Sie: Kern(f) =35Z und 35Z isomorph zu Z/5Z × Z/7Z

Question

Aufgabe:

Wir definieren die Abbildung

f: ℤ → ℤ/5ℤ × ℤ/7ℤ, x ↦ ([x]5, [x]7)

Zeigen Sie:

a) f ist ein Ringhomomorphismus.

b) Kern(f) = 35ℤ

c) ℤ/35ℤ ≅ ℤ/5ℤ × ℤ/7ℤ


Problem/Ansatz:

Mein Ansatz für die a) :

a) Zu zeigen:

1) f(a+b) = f(a) + f(b)

2) f(ab) = f(a)f(b)

3) f(1ℤ) = 1ℤ/5ℤ×ℤ/7ℤ

1) f(a+b) = ([a+b]5 , [a+b]7 ) = ([a]5 , [a]7 ) + ([b]5 , [b]7 ) = f(a) + f(b)

2) Analog zu 1)

3) f(1ℤ) = ([1ℤ]5 , [1ℤ]7 )

Bei der b und c fehlt mir jedoch ein Ansatz, hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Ich weiß nur das die c etwas mit dem Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen zu tun hat.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie: Für f gelten folgende Eigenschaften

Stichworte: kern,isomorph,homomorphismus

Aufgabe:

Wir definieren die Abbildung

f: ℤ → ℤ/5ℤ × ℤ/7ℤ, x ↦ ([x]₅, [x]₇)

Zeigen Sie:

a) f ist ein Ringhomomorphismus.

b) Kern(f) = 35ℤ

c) ℤ/35ℤ ≅ ℤ/5ℤ × ℤ/7ℤ

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz für die a) :

a) Zu zeigen:

1) f(a+b) = f(a) + f(b)

2) f(ab) = f(a)f(b)

3) f(1ℤ) = 1ℤ/5ℤ×ℤ/7ℤ

1) f(a+b) = ([a+b]₅ , [a+b]₇ ) = ([a]₅ , [a]₇ ) + ([b]₅ , [b]₇ ) = f(a) + f(b)

2) Analog zu 1)

3) f(1ℤ) = ([1ℤ]₅ , [1ℤ]₇ )

Bei der b und c fehlt mir jedoch ein Ansatz, hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Answer 1

zur a) Das passt soweit alles. nur bei deinem dritten Punkt solltest du f(1)= ([1]₅ , [1]₇) schreiben, da das andere wenig Sinn macht :D

zur b) Du zeigst beide Teilmengeninklusionen, also Kern(f) ⊂ 35ℤ und Kern(f) ⊃ 35ℤ.

z.B. für Kern(f) ⊃ 35ℤ: Du nimmst dir ein a ∈ 35ℤ beliebig. Dann kannst du a darstellen als a = k * 35 mit k ∈ ℤ. Dann setzt du a mal in f ein:

f(a) = ([a]₅ , [a]₇) = ([k * 35]₅ , [k * 35]₇) = ([k]₅ * [35]₅ , [k]₇ * [35]₇) = ([k]₅ * [0]₅ , [k]₇ * [0]₇) = ([k * 0]₅ , [k * 0]₇) = ([0]₅ , [0]₇)

⇒ a ∈ Kern(f), also Kern(f) ⊃ 35ℤ. Dann musst du nur noch Kern(f) ⊂ 35ℤ und dann gilt Kern(f) = 35ℤ.

c) folgt dann direkt aus dem Homomorphiesatz für Ringe.

Comments

Um zu zeigen, dass Kern(f) ⊂ 35ℤ, wähle ich mir ein a ∈ Kern(f), also ([0]₅, [0]₇ ) und muss zeigen das dieses a ∈ 35ℤ oder?

Aber wie genau zeige ich jetzt das

([0]₅, [0]₇) ∈ 35ℤ?

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Das ist nicht der Kern(f).

Kern(f)={a ∈ ℤ I f(a) = ([0]₅, [0]₇)}.

Du musst also zeigen, dass dieses a ∈ Kern(f) (was eine ganze Zahl sein muss, da man es ja in f einsetzt, und keine Restklasse) auch ∈ 35ℤ ist.

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Achso, also das die 0 in 35ℤ liegt, wenn man für ℤ die 0 einsetzt

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Die 0 ist ein Element von Z, die man in f einsetzen kann, so dass ([0]₅, [0]₇) rauskommt, ja. Aber man kann ja noch mehr a ∈ Z einsetzen, so dass f(a) = ([0]₅, [0]₇), nämlich genau alle Elemente von 35Z, also alle Vielfache von 35, was ja zu zeigen ist. ^^

Du nimmst also a ∈ Kern(f) beliebig. Dann ist f(a) = ([a]5, [a]7) = ([0]5, [0]7). Und jetzt musst du begründen, warum dieses a von der Gestalt 35Z sein muss.

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Vielen Dank für deine Hilfe