Wenn B regulär ist, dann existiert kein g ∈ ℕ, derart dass B^g=0

Question

Aufgabe:

Hallo Leute,

Ich hätte da ne Frage und zwar will folgendes beweisen. Weiß aber net wie…

Und zwar haben wir eine Matrix B ∈ \( ℝ^{n×n} \).

Und nun will ich zeigen: Wenn B regulär ist, dann existiert kein g ∈ ℕ, derart dass \( B^{g} \)=0.

Würde mich über Hilfe freuen.

Answer 1

Wenn \(B\in \mathbb{R}^{n\times n}\) regulär ist, dann ist \(\det(B)\neq 0\) und nach dem Determinantenmultiplikationssatz gilt für alle \(n\in \mathbb{N}\):$$\det(B\cdot \ldots \cdot B)=\det(B^n)=[\det(B)]^n\neq 0$$ Kann es mit dieser Überlegung einen Nilpotenzgrad \(g\in \mathbb{N}\) geben, so dass \(B^g=0\) und damit \(\det(B^g)=0\)?

Comments

Nein kann es nicht. Vielen Dank für die schnelle und gute Erklärung. Und das reicht schon als Beweis oder?

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Damit ist gezeigt, dass aus der Regularität der Matrix folgt, dass \(\det(B^n)\neq 0\) für alle \(n\in \mathbb{N}\) gilt. Im Umkehrschluss bedeutet das, dass kein \(g\in \mathbb{N}\) exisitiert, so dass \(B^g=0\). Das war zu zeigen.