Zeigen Sie gleichmäßige Konvergenz

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie dass, über dem Intervall \(\left[0, \frac{1}{2}\right]\) die Reihe \(\sum_{n=0}^{\infty}{(\sqrt{1-x^n}-1)}\) gleichmäßig konvergiert.

Problem/Ansatz:

Ich stehe hier leider sehr auf dem Schlauch. Ich kann mir vorstellen, dass das Majorantenkriterium von Weierstraß anzuwenden ist, aber ich komme nicht darauf wie man die Zahlenreihe bildet.

Comments

Erstmal den Standard-Trick anwenden: Einen Ausdruck der Form \(\sqrt{a}-b\) erweitern mit \(\sqrt{a}+b\)

Gruß Mathhilf

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Ich glaub ich brauch nochn Kaffee, aber dann wäre ich ja bei \(\sum_{n=1}^{\infty}{x^n}\). Aber wirklich verstehen tue ich es gerade noch nicht. Da da im Intervall die Reihe immer gegen 0 geht, müsste ich ja nur noch eine konvergente Zahlenfolge finden, wenn ich das richtig verstanden habe.

Edit: Oder ich habs falsch verstanden.

Die Zahlenfolge \(\sum_{n=1}^{\infty}{x^n}\) konvergiert ja in dem Intervall. Daher:

\(\bigl|f_{n}(x)\bigl|\leq \sum_{n=1}^{\infty}{x^n}\) und daher konvergent?

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"erweitern" heißt Zähler und Nenner mit demselben Term multiplizieren, das ergibt nicht x^n.

Im weiteren wirst Du für Anschätzungen beachten müssen, dass für die x ein Intervall vorgegeben ist.

Gruß Mathhilf