Kreisgleichung mit LGS und M und r berechnen

Question

Aufgabe:

Im $\mathbb{R}$ - Vektorraum $\mathbb{R}^{2}$ sind die Punkte $A=(2,3), B=(4,1)$ und $C=(6,3)$ gegeben. Da diese Punkte nicht auf einer Geraden liegen, beschreiben sie eindeutig einen Kreis mit Mittelpunkt $M=\left(x_{M}, y_{M}\right)$ und Radius $r$.
(a) Stellen Sie eine allgemeine Kreisgleichung auf.
(b) Stellen Sie die Kreisgleichung so um, dass Sie eine Gleichung der Form
$\alpha_{1}+x \cdot \alpha_{2}+y \cdot \alpha_{3}=c(x, y)$
erhalten. Dabei sind $x$ und $y$ die Koordinaten der gegebenen Punkte und $c(x, y)$ eine Konstante, die sich aus diesen Koordinaten errechnen lässt. Die $\alpha_{i}$ codieren die (teilweise in quadratischer Form gegebenen) Variablen $x_{M}, y_{M}$ und $r$.
(c) Lösen Sie das so entstandene Gleichungssystem.
(d) Errechnen Sie daraus den Wert von $M$ und $r$.

Problem/Ansatz:

Bisher konnte ich nur die a) lösen. ich habe als allgemeine Kreisgleichung x²+y²=r²

Das Thema ist neu und bei uns leider kaum erklärt. Bei der b weiß ich schon nicht mehr weiter.

Also wie komme ich auf die gegebene Gleichung in b?

Answer 1

Die Koordinaten der drei Punkte in die allgemeine Kreisgleichung eingesetzt, gibt ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen in drei Unbekannten, mit der Lösung

$(x-4)^{2}+(y-3)^{2}=2^{2}$

Comments

Danke für deine Hilfe:)

Mein Problem ist wie die Punkte in die Gleichung einsetzte. Es Gibt ja 3 Punkte, d.h. drei x-en und drei y-e. In der Gleichung gibt nur jeweils ein x und y. Außerdem brauche ich ja noch dafür den Mittelpunkt, was nicht gegeben ist. Das verwirrt mich.

Meinst du es so vielleicht:

Immer nur einen Punkt in die Gleichung einsetzten und dann halt drei Gleichungen. Nur, ob ich es richtig verstanden habe.

A(2,3) = (2-xm)²+(3-ym)²=r²

B(4,1)= (4-xm)²+(1-ym)²=r²

C(6,3)=(6-xm)²+(3-ym)²=r²

Ist das schon mein LGS?

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Genauso, ja.

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ich habe es jetzt versucht in die gewünschte Form zu bringen.

erstmal habe ich die drei Gleichungen ausmultiliziert.

Das r habe ich aus dem Satz des Pythagoras. Geht das so?

C(x,y) durch die Gleichung vereinfacht und auf andere Seite gebracht.

-√13+(-1)*xm²+(-1)*ym²=-13

-√17+(-1)*xm²+(-1)*ym²=-17

-√45+(-1)*xm²+(-1)*ym²=-45

r+x*xm²+y*ym²= c   bzw. a1+x*a2+y*a3=c

ist es soweit richtig und wie arbeite ich jetzt mit dem LGS?

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Nein, sondern löse Dein Gleichungssystem:

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Ok. Ich tu mir schwer damit zurechnen. Komme damit nicht zurecht.

3.zeile - 1. Zeile

(2-xm)^² +(3-ym)²=r²

(4-xm)² +(1-ym)²=r²

(6-xm)² - (2-xm)²=0(r²-r²)

Und weiter?

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Deinen Lösungsversuch kann ich nicht nachvollziehen, das verstösst gegen diverse Rechenregeln.

Ich würde die linke Seite der 1. Gleichung mit der linken Seite der 2. Gleichung und mit der linken Seite der 3. Gleichung gleichsetzen:

(2-x_m)² + (3-y_m)² = (4-x_m)² + (1-y_m)²

(2-x_m)² + (3-y_m)² = (6-x_m)² + (3-y_m)²

Ausmultipliziert ist das:

4 - 4x_m + x_m² + 9 - 6y_m + y_m² = 16 - 8x_m + x_m² + 1 - 2y_m + y_m²

4 - 4x_m + x_m² + 9 - 6y_m + y_m² = 36 - 12x_m + x_m² + 9 - 6y_m + y_m²

und zusammengefasst komme ich auf

- 4 + 4x_m - 4y_m = 0

- 32 + 8x_m = 0

mit den Lösungen x_m = 4 und y_m = 3

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ja, ich seh schon wo der ein oder andere (Denk)Fehler bei mir lag.

danke nochmal für deine Hilfe!

Answer 2

Bisher konnte ich nur die a) lösen. ich habe als allgemeine Kreisgleichung x2+y2=r2

Das ist nicht die allgemeine Kreisgleichung. Das ist die Gleichung für Kreise, deren Mittelpunkt $(x_m;y_m)$ der Koordinatenursprung ist.

Die allgemeine Gleichung ist $(x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2$.

Comments

ah, danke. gut zu wissen.

Wie komm ich von

$\left(x-x_{m}\right)^{2}+\left(y-y_{m}\right)^{2}=r^{2}$  auf

 $\alpha_{1}+x \cdot \alpha_{2}+y \cdot \alpha_{3}=c(x, y)$ ?