Erwartungswert der Dichtefunktion

Question

Gegeben ist folgende stückweise konstante Dichtefunktion der Zufallsvariablen X

f(x)= { 0.02                       3 ≤ x < 6

        0.06                       6 ≤ x < 9

        0.17     f/"ur           9 ≤ x < 11

        0.21                      11 ≤ x ≤ 13

        0                           sonst.

Berechnen Sie den Erwartungswert E(X).

Answer 1

Aloha :)

Der Erwartungswert ist:$$E(X)=\int\limits_{-\infty}^\infty x\cdot f(x)$$Hier ist nun \(f(x)=p_i\) in den Intervallen \(x_i\le x<x_{i+1}\) mit \(i=\{1,2,\ldots,n\}\) stückweise konstant:$$E(X)=\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} x\cdot p_i=\sum\limits_{i=1}^n p_i\left[\frac{x^2}{2}\right]_{x_i}^{x_{i+1}}=\sum\limits_{i=1}^n \frac{p_i}{2}\left(x_{i+1}^2-x_i^2\right)$$

Das heißt für die Rechnung:$$E(X)=\frac{0.02}{2}(6^2-3^2)+\frac{0.06}{2}(9^2-6^2)+\frac{0.17}{2}(11^2-9^2)+\frac{0.21}{2}(13^2-11^2)$$$$\phantom{E(X)}=10.06$$

Comments

Danke für die ausführliche Bearbeitung, hat gestimmt :)

Answer 2

Hallo,

$$E(x)=\int \limits_{-\infty}^{\infty}x\cdot f(x)dx$$

Du musst hier also im Endeffekt die Fläche unter dem Graphen berechnen. Das kannst du entweder mit dem Integral machen oder du berechnest einfach die einzelnen Rechtecke

Smitty

Answer 3

Am einfachsten ist es vielleicht wie folgt zu berechnen

E(X) = 0.02·3·4.5 + 0.06·3·7.5 + 0.17·2·10 + 0.21·2·12 = 10.06

Man gewichtet hierbei die Mittelwerte der Intervalle nur mit den Wahrscheinlichkeiten der Intervalle.

Comments

Dankeschön hat gestimmt.