Periodischer kubischer Spline

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den kubischen interpolierenden Spline \( s(x) \) zur Funktion
$$ f(x)=\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{2} x\right) $$
auf \( [-1,3] \) mit Stützstellen \( x_{i}=-1+i h, h=1 \) für \( i=0,1,2,3,4 \) und periodischen Randbedingungen. Bestimmen Sie zuerst das Gleichungssystem für die Steigungen \( b_{i} \). Was folgt sofort für die \( b_{i} \) ? Bestimmen Sie dann die Koeffizienten der Teilpolynome \( s_{i} \) auf \( \left[x_{i}, x_{i+1}\right] \).

Könnte mir bitte dabei helfen?

Ich habe so gemacht aber ich weiß nicht ob das richtig ist und ich komme auch nicht weiter

:)

Answer 1

was weißt du über kubische splines?

guckst du https://www.geogebra.org/m/s5g89mqy

über 5 stützstellen wären 4 kubische parabel abschnitte zu bestimmen, aweng viel schreibarbeit, siehe link

welchen input brauchst du

ggf daten in app übernehmen...

Periodische Randbedingungen

\(p_1^{'}(x_0) = p_n^{'}(x_n) \) ===> A1:={ddp(1,XY(0,1))=ddp(n,XY(n,1))}

\(p_1^{''}(x_0) = p_n^{''}(x_n)  \) ===> A6:={dp(1,XY(0,1))=dp(n,XY(n,1))}

\(\small s(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x^{3}+3 x^{2} & : x<0 \\ -2 x^{3}+3 x^{2} & : 0 \leq x \leq 1 \\ 2 x^{3}-9 x^{2}+12 x-4 & : 1<x \leq 2 \\ -2 x^{3}+15 x^{2}-36 x+28 & : \text { otherwise }\end{array}\right. \)

Comments

Was muss ich jetzt machen? ich habe nicht verstanden

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Du musst nachlesen wie man kubische Splines baut.

Erklärung z.B. im Link

Kurzform: ein lineares Gleichungssystem 16x16 aufbauen und lösen...

mögliches Ergebnis siehe oben...

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Ich weiß es nicht wie ich die Webseite benutze und was und wie alles eingeben soll

Könntest du mir bitte dabei helfen?

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In dem verlinken Beispiel werden zu 4 Stützpunkten 3 Splines berechnet und das Verfahren ausführlich beschrieben:

- ziehe die Stützpunkte auf z.B. Ao=(0,0) A1=(1,1) A2=(2,0) A3=(3,1) - das würde Deinen Daten für i=1,2,3,4 entsprechen...

- dann baut die App das entsprechende LGS Zeile 5,6,7 (Matrix dazu Zeile 14)

- aus der Lösung dieses LGS entstehen 3 Splines Zeile 10,11,12

wenn Du die Grundlagen der Gleichungen und das Verfahren verstanden hast, kannst Du weiter unten auf der Seite

Link: Kubische Splines im CAS (Aufbau des LGS/der Matrix)

Dein eigentliches Problem angehen und noch einen Stützpunkt dazu nehmen

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wie kommst du darauf Ao=(0,0) A1=(1,1) A2=(2,0) A3=(3,1) ?

Außerdem i ist gleich 0,1,2,3,4

nicht 1,2,3,4

Spielt das keine Rolle?

Die Stützpunkte sind -1,0,1,2,3 oder?

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Außerdem ich weiß nicht wo genau ich die Stützpunkte im Link schreiben soll...

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Um zu verstehen was bei einer Spline-Berechnung abgeht ist es unerheblich wie viele Stützpunkte man verwendet - weniger ist mehr!

Welche Stützpunkte zu verwenden sind steht in Deiner Aufgabe :

auf \( [-1,3] \) mit Stützstellen \( x_{i}=-1+i h, h=1 \) für \( i=0,1,2,3,4 \)

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Wo schreibe ich im Link die Stützpunkte?

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Was hast Du an

-ziehe die Stützpunkte auf z.B. Ao=(0,0) A1=(1,1) A2=(2,0) A3=(3,1) - das würde Deinen Daten für i=1,2,3,4 entsprechen...

nicht verstanden?

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wie mache ich das? ich verstehe nicht

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so wird das nix....

ich hab den ursprünglichen artikel nochmal überarbeitet und die periodischen randbedingungen eingearbeitet. da siehst du wo du hin willst.

dazu musst du die 4 kubischen parabel funktionen p_i aufstellen und ableiten p_i‘. die stützpunkte einsetzen!

oben kannst du erkennen welchen wert die ableitung an den stützstellen hat. löse diese lgs und prüfe, wie weit uns das ergebnis bringt...

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Ich muss alles im Link machen oder?

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das machst du am besten so, dass was dabei rum kommt. bisher war deine arbeit mit den verlinkten  apps nicht besonders erfolgversprechend?

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Ich komme jetzt nicht weiter

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sehr gut...

bilde die ableitungen von s1,s2,s3,s4

wir wissen entsprechend dem bild oben, dass die ableitung an den stützpunkten ein lokales min bzw. max bildet, also alle s_i´=0 sind. aus diesem lgs solltest du zumindest einige teillösungen erhalten...

im bild oben siehe 1.zeile und die 3 zeilen, die am linken rand beginnen. repräsentieren die gleichsetzungen der ableitungen, die du aufgeschrieben hast entsprechend dem standard spline verfahren...

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schon erledigt danke :)