Finden Sie alle reellen nichttrivialen Lösungen der Gleichungen

Question

Aufgabe:

Finden Sie alle reellen nichttrivialen Lösungen der Gleichungen
2x₁ − 3x₂ − x₃ + x₄ = 0,
3x₁ + 4x₂ − 4x₃ − 3x₄ = 0,
17x₂ − 5x₃ − 9x₄ = 0.
Zeigen Sie ferner, dass eine dieser Lösungen auch die Gleichungen
x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + 1 = 0,
x₁ − x₂ − x₃ − x₄ − 3 = 0
löst, aber keine sich als lineare Kombination der Vektoren (0, 1, 2, 3) und (3, 2, 1, 0) darstellen laesst.

Answer 1

Aloha :)

$$\begin{array}{rrrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = & \text{Aktion}\\\hline2 & -3 & -1 & 1 & 0 &\\3 & 4 & -4 & -3 & 0 &-\text{Zeile }1\\0 & 17 & -5 & -9 & 0 &\\\hline2 & -3 & -1 & 1 & 0 &-2\cdot\text{Zeile }2\\1 & 7 & -3 & -4 & 0 &\\0 & 17 & -5 & -9 & 0 &\\\hline0 & -17 & 5 & 9 & 0 &+\text{Zeile }3\\1 & 7 & -3 & -4 & 0 &\\0 & 17 & -5 & -9 & 0 &\colon17\\\hline0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\1 & 7 & -3 & -4 & 0 &-7\cdot\text{Zeile }3\\0 & 1 & -\frac{5}{17} & -\frac{9}{17} & 0 &\\\hline0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\1 & 0 & -\frac{16}{17} & -\frac{5}{17} & 0 &\\[0.5ex]0 & 1 & -\frac{5}{17} & -\frac{9}{17} & 0 &\\\hline\end{array}$$Damit können wir die Lösungen angeben:

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{16}{17}x_3+\frac{5}{17}x_4\\[0.5ex]\frac{5}{17}x_3+\frac{9}{17}x_4\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\frac{x_3}{17}\begin{pmatrix}16\\5\\17\\0\end{pmatrix}+\frac{x_4}{17}\begin{pmatrix}5\\9\\0\\17\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}16\\5\\17\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}5\\9\\0\\17\end{pmatrix}$$

Im folgenden Teil kannst du nun die gerade gefundenen Koordinaten einsetzen:$$-1=x_1+x_2+x_3+x_4=38s+31t$$$$\phantom{-}3=x_1-x_2-x_3-x_4=-6s-21t$$Dieses Gleichungssystem wird gelöst durch:$$s=\frac{2}{153}\quad;\quad t=-\frac{27}{153}$$

Comments

Wie kommt man auf das s und t was das Gleichungssystem löst das ist mir noch nicht ganz schlüssig

Answer 2

Man könnte mal die Zeilenstufenform bauen, z.B.

\(\small RRef \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&\frac{-16}{17}&\frac{-5}{17}\\0&1&\frac{-5}{17}&\frac{-9}{17}\\0&0&0&0\\\end{array}\right)\)

und damit eine mögliche Lösungsmenge beschreiben

\(\small \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}\frac{16}{17} \; r + \frac{5}{17} \; s\\\frac{5}{17} \; r + \frac{9}{17} \; s\\r\\s\\\end{array}\right)\)