Gleichung mit zwei Unbekannten / Null?

Question

Aufgabe:

Problem:

kann mir jemand kurz weiterhelfen? Ich habe da schon herumprobiert, aber bei mir kommt überall für x und y Null heraus, ich weiß nicht, ob dass so sein soll oder ich sehr wahrscheinlich etwas falsch mache?

Comments

(c) kann keine Lösung haben, weil 3x + 9y ∈ 3ℤ für alle x,y ∈ ℤ, aber 2 ∉ 3ℤ ist.

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Hm, was bedeutet 3ℤ eigentlich?

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Das sind alle ganzzahligen Vielfachen von 3.

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Aso, vielen Dank! :)

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70x+33y =1

3x+9y= 2

x+3y=2/3

x= 2/3-3y

70*(2/3-3y) +33y= 1

140/3-210y+33y= 1

140-630y+99y= 3

-531y= -137

y= 137/531

x= ...

Wo liegt mein Fehler?

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Wo liegt mein Fehler?

Vielleicht sollte man nicht die Gleichung der Aufgabe c) in die Gleichung der Aufgabe b) einsetzen?

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Auweia, da hab ich was verwechselt. Danke. Alles klar.

Schönen Sonntag! :)

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Ja, dir ebenso!

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Damn, so viele Antworten, die Frage scheint wohl ziemlich beliebt zu sein, huh? :D

Answer 1

zu a) 70x+33y=1 ist die Gleichung einer Geraden. Ihre Lösungen liegen auf dem abgebildeten Graphen:

Die Schnittpunkte mit den Achsenliegen bei y=\( \frac{1}{33} \) und bei x=\( \frac{1}{70} \).

Comments

Uii, vielen Dank für den schönen Graphen hier, so kann man die Paare natürlich auch ermitteln.  :D

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Allerdings dürfen es nur die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten sein, was in dieser Antwort völlig fehlt.

Answer 2

bei mir kommt überall für x und y Null heraus, ich weiß nicht, ob dass so sein soll

Eine seltsame Frage. Chinesische Wissenschaftler haben vor einiger Zeit ein Verfahren namens "Probe" entwickelt.

Wenn du es anwendest wirst du festestellen, dass deine Vermutung x=0, y=0 in beiden Gleichunegen zu einem Widerspruch führt.

Zeige uns deine Rechnung, dann können wir gemeinsam auf Fehlersuche gehen.

Comments

Ja, eine sehr tolle Erfindung... Ich glaube dafür braucht es aber keine Probe, denn man sieht, dass mit x = 0 und y = 0 nicht wirklich das gewünschte Ergebnis herauskommt. :-)

Mein Ansatz für b.)

70x + 33y = 1

x ==> 1/70 - 33/70y (Umformen nach x)

y ==> 1/33 - 70/33x (Umformen nach y)


70x + 33y = 1

70*(1/70 - 33/70y) + 33y = 1

1 - 33y + 33y = 1

0 = 0 ?

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1 - 33y + 33y = 1

Daraus folgt 1=1, und das gilt immer (völlig unabhängig, was du konket für y einsetzt).

Damit findest du (theoretisch) für jedes mögliche y auch ein passendes x.

Was du völlig übersehen hast: x und y sollen auschließlich ganze Zahlen sein. Damit werden deine Bruchrechnungen gegenstandslos.

Aus

70x + 33y = 1 folgt z.B.

70x + 33y ≡ 1 mod m

und wenn man für m den Wert 33 wählt, wird daraus

70x +0 ≡ 1 mod 33

bzw.

4x +0 ≡ 1 mod 33

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vielleicht sollte man auch noch erwähnen, daß es keinem sinn macht die auflösung einer gleichung in die selbe wieder einzusetzen, nicht wenn man an aussagen wie 0=0 oder auch 2=2 usw. interessiert ist...

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@abakus

Wo kommt das mod plötzlicher her? Warum darf man das so machen?

4x + 0 ≡ 1 mod 33 <--- Aber hier bekomme ich doch auch keinen x-Wert heraus, oder? Weil wir hier sonst für x wieder einen Bruchwert erhalten...

Answer 3

70x+33y=1

(33*2+4)*x+33y=1

4x+33*(2x+y)=1    ;    a=2x+y

4x+33a=1

4x+(4*8+1)*a=1

4*(x+8a)+a=1         ;     b=x+8a

4*b+a=1

z.B. b=1; a=-3

x=b-8a=1+24=25

y=a-2x=-3-50=-53

Probe: 70*25+33*(-53)=1

(25;-53) ist eine Lösung.

Allerdings gibt es unendlich viele Lösungen.

Suchen wir also eine weitere.

Aus 4x+33a=1 folgt bereits a=1 und x=-8.

y=a-2x=1+16=17

(-8;17) ist ebenfalls eine Lösung.

Wenn du nun die Lösungspaare ansiehst, stellst du fest, dass (-8;17)=(25-33;-53+70) ist.

Nun kannst du überprüfen, dass alle Paare der Form (25-33*k;-53+70*k) mit k∈ℤ Lösungen sind.

:-)

Comments

Vielen Dank für die schöne und ausführliche Lösung! Toll gemacht! :D

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überprüfen, dass alle Paare der Form (25-33*k;-53+70*k) mit k∈ℤ Lösungen sind.

Wichtig ist umgekehrt zu prüfen, dass alle Lösungen Paare der Form (25-33*k;-53+70*k) mit k∈ℤ sind

Answer 4

Lösung zu b): 70x + 33y = 1, (x,y) ∈ ℤ^2:

{ (x,y) = (33n + 25, -70n - 53) , n ∈ ℤ }

Lösung zu c): 3x + 9y = 2, (x,y) ∈ ℤ^2:

{ }

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Kurz und knackig, vielen Dank dafür!  :D