Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten

Question

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U(x1,x2)=50⋅ln(x1)+60⋅ln(x2). Gegeben sind die Preise der beiden Güter p1=8 und p2=6. Minimieren Sie die Kosten des Individuums, wenn ein Nutzenniveau von 640 erreicht werden soll. Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten C(x1,x2)?

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen eine Kostenfunktion \(c(x;y)\) under einer konstanten Nebenbedingung \(U(x;y)\) optimieren:$$c(x;y)=8x+6y\quad;\quad U(x;y)=50\ln x+60\ln y=640$$

Nach Langrange muss in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion proportional zum Gradienten der Nebenbedingung sein. Der Proportionalitätsfaktor \(\lambda\) ist der Lagrange-Multiplikator:$$\operatorname{grad}c(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}U(x;y)\quad\implies\quad\binom86=\lambda\binom{50/x}{60/y}$$

Wir dividieren die Beiden Koordinatengleichungen, um \(\lambda\) loszuwerden:$$\frac86=\frac{\lambda\cdot\frac{50}x}{\lambda\cdot\frac{60}y}=\frac{50y}{60x}=\frac{5y}{6x}\quad\implies\quad 5y=\frac86\cdot6x=8x\quad\implies\quad y=\frac85\cdot x$$

Diesen Befund setzen wir in die Nebenbedingung ein:

$$640=50\ln x+60\ln\left(\frac85\cdot x\right)=50\ln x+60\ln\frac85+60\ln x=110\ln x+60\ln\frac85$$$$\ln x=\frac{640-60\ln\frac85}{110}=5,561816\quad\implies\quad x=260,295156\;\;;\;\;y=416,472249$$

Die minimalen Kosten betragen dann: \(\quad c_{\text{min}}=4581,19\)

Comments

Danke sehr :))

Answer 2

Das kannst Du z.B. mit Lagrange lösen. Wie lautet Deine Lagrange-Funktion?