Limes berechnen und interpretieren

Question

Aufgabe: \( \frac{k^2+2k+2}{e^k} \)+2

Ich soll hier lim A(k) berechnen und das Ergebnis interpretieren. Habe sehr große Probleme dabei diese Aufgabe zu verstehen und wäre für einen Lösungsweg sehr dankbar.

Comments

Was für ein Limes? Für k geht gegen was?

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Ich hab dazu nur diese Funktion oder braucht man noch was?

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Ja, nämlich das was ich gefragt habe.

\( \lim \limits_{k \rightarrow 0}\left(\frac{k^{2}+2 k+2}{e^{k}}+2\right)=4 \)
\( \lim \limits_{k \rightarrow 17}\left(\frac{k^{2}+2 k+2}{e^{k}}+2\right)≈2 \)
\( \lim \limits_{k \rightarrow-\infty}\left(\frac{k^{2}+2 k+2}{e^{k}}+2\right)=\infty \)
\( \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left(\frac{k^{2}+2 k+2}{e^{k}}+2\right)=2 \)

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Achso sorry der limes k→∞. Wie bist du da auf die 2 gekommen? Wie hast du das berechnet?

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Mit iterativem Hospital, siehe unten.

Answer 1

\(\lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left(\frac{k^{2}+2 k+2}{e^{k}}+2\right)=2 \)

Mit l´Hospital:

\( \lim\limits_{k\to\infty} \)\( \frac{k^2+2k+2+2e^k}{e^k} \) →\( \lim\limits_{k\to\infty} \)\( \frac{2k+2+2e^k}{e^k} \)→\( \lim\limits_{k\to\infty} \)\( \frac{2+2e^k}{e^k} \)→\( \lim\limits_{k\to\infty} \)\( \frac{2e^k}{e^k} \)=2

Comments

Danke für die Antwort :)

Wie bist du auf die 2e^k gekommen im Zähler? Kann mir nicht erklären wie das nach oben gekommen ist.

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\( \lim\limits_{k\to\infty} \)\(\frac{2+2e^k}{e^k} \)

Nun wird der Zähler differenziert: 2\( e^{k} \)

Nenner differenziert : \( e^{k} \)

Nun Zähler geteilt durch Nenner ergibt 2

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Jetzt verstehe ich, was du meinst:

\( \frac{k^2+2k+2}{e^k} \)+2= \( \frac{k^2+2k+2}{e^k} \)+\( \frac{2e^k}{e^k} \)= \( \frac{k^2+2k+2+2e^k}{e^k} \)

Answer 2

Im Zähler und im Nenner ist der Grenzwert ∞.

D.h. Hospital anwenden.

Danach ist im Zähler und im Nenner der Grenzwert immer noch ∞.

D.h. nochmals Hospital anwenden.

Danach ist im Zähler der Grenzwert 2 und im Nenner der Grenzwert ∞ d.h. der Bruch ist gleich Null.