Ekluidische Metrik Bedeutung und Beweis

Question

Ich habe folgendes Lemma im Skript:

Mit der Euklidischen Metrik

\( d(x, y):=\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-y_{i}\right)^{2}} \) sind die Mengen \( R^{n} \) metrische Räume \( (n \in \mathbb{N}) \).

Jetzt habe ich hierzu zwei Fragen.

Was ist mit der ekluidischen Metrik gemeint?

Ich weiß was die Metrik im groben ist (bin noch recht am Anfang des Lernens)

Was bedeutet aber ekluidisch?

Außerdem sollen wir dies nun beweisen bzw. nachweisen.

Axiome:

D1) Nichtnegativität

D2) Definitheit

D3) Symmetrie

D4) Dreiecksungleichung

Für den Beweis habe ich den kompletten Lösungsweg vom Prof.

Das Problem ist, dass der Prof.

d(x,y):= √(x1-y1)^2+(x2-y2)^2 beweist.

Mein Verständnisproblem ist hier, wieso wir die Summe (xi-yi)^2 von i=1 bis 2 nehmen obwohl es doch bis n geht?

Eigentlich habe ich nur Schwierigkeiten bei „Kleinigkeiten“.

Also so hoffe ich es zumindest.

Wäre echt lieb wenn jemand helfen könnte.

Answer 1

Hallo

Der euklidische Raum ist der dir gewohnte Raum, der 2 dimensional etwa durch die x-y Ebene beschrieben wird. die Metrik ist der Abstand von Punkten in diesem räum mit Pythagoras.

dein Prof hat das wohl erst mal für den ℝ^2 aufgeschrieben, wo es der gewohnte Abstand nach Pythagoras ist. In ℝ^3 ist es immer noch der anschauliche Pythagoras in ℝ^n dann verallgemeinert.

Gruß lul

Comments

Das habe ich alles soweit verstanden.

In dem Beweis meines Profs steht folgendes ( in den letzten beiden habe ich die Rechnung gekürzt):

Mein Prof hat hier aber nichts für R^n verallgemeinert..

Wie kann ich das denn verstehen?

Liebe Grüße

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Hallo

D4 dafür steht da kein Beweis. alle anderen also d(x,y)=0 folgt x=y

und d(x,y)=d(y,x) sind wenn man mehr Summanden hat einfach dasselbe, denn dass ((xi-yi)^2=(yi-xi)^2 ist hat nichts mit i zu tun, ebenso, dass eine summe von Quadraten nur 0 sein kann, wenn alle einzelnen Summanden 0 sind,

nur  die Dreiecksungleichung  ist etwas länglicher als in R^2 aber auch im Prinzip dasselbe.

Euer Prof nahm wohl einfach an, dass man das sieht, wenn man es im R^2 vormacht und längere Summen das nur unübersichtlicher machen, nicht klarer.

Gruß lul