Wir multiplizieren (λ+(1/λ))^1020 und betrachten die Summanden des Ergebnisses

Question

Aufgabe:

Wir multiplizierenp (λ+1/λ)^1020 und betrachten die Summanden des Ergebnisses. Diese haben die Forma  a * λ^k für bestimmtea und k.Sei nun k eine beliebige, fixe, ganze Zahl. Berechnen Sie den Koeffizienten a im Summanden a*λ^k. Für welche k ist a null, kommt also λ^k nicht in der Summe vor?

Problem/Ansatz:

Das Problem soll mit dem BInomischen Lehrsatz lösen zu sein, allerdings fehlt mir hierzu der Ansatz. Könnte jemand hierzu mehr sagen oder ein Beispiel vorzeigen?

Answer 1

(λ+1/λ)¹⁰²⁰=\( \begin{pmatrix} 1020\\0 \end{pmatrix} \) ·\( x^{-1020} \)+\( \begin{pmatrix} 1020\\1 \end{pmatrix} \) ·\( x^{-1018} \)+\( \begin{pmatrix} 1020\\2 \end{pmatrix} \) ·\( x^{-1016} \)+ ... .. +\( \begin{pmatrix} 1020\\1020 \end{pmatrix} \) ·\( x^{1020} \).     

Comments

Danke für deine Antwort! Verstehe ich das richtig, dass der Binomial Koeffizient \( \begin{pmatrix} 1020\\0 \end{pmatrix} \) zum Beispiel die Variable a dann wäre und x^-1020  dann λ^k?

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Ja, das verstehst du richtig mit der Einschränkung, dass ich a nicht als Variable bezeichnen würde, sondern a_k für 0≤k≤1020  als Parameter. Da liegt ein Mangel bereits in der Formulierung der Aufgabe.

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Danke dir Roland! Sehr hilfreich. Dann erhalte ich logischerweise a explizit indem ich umstelle. Vielen Dank, den Rest soll ich hinkriegen!

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Roland, eine kurze Frage noch: Nach meinen Überlegungen kann "a" ja aber eigentlich dann nie 0 werden oder? Weil unabhängig welches k ich ja nehme, bekomme ich immer einen positiven Term raus und für den Binomialkoeffizienten gilt ja das gleiche, der wird ja auch nie Null? Ich gehe mal davon aus, dass damit mehr gemeint ist ab wann nur noch der Binomialkoeffizient da steht, also ohne lambda^k. Ganz sicher bin ich mir aber nicht.

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"kann "a" ja aber eigentlich dann nie 0 werden"

Das ist zutreffend.

Bedenke, das indessen k durchaus gleich 0 sein kann.

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Okay, ich denke damit hast du mir schon genug geholfen. Ich werd noch findig! Danke dir vielmals!

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k wird für 510 zu 0 :). Habs gefunden.

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Dann ist a=\( \begin{pmatrix} 1020\\510 \end{pmatrix} \).

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Genau, dann wird k zu 0 und damit fliegt der x^k Term dann mehr oder weniger weg bzw. wird überflüssig. Denke das wird die Intension gewesen sein hinter der Fragestellung. a ist in dem Fall jedoch nicht "null" wie es eigenltich Ursprünglich in der Fragestellung steht, das ist ja aber sowieso nicht möglich. Es steht jedoch dazu: "Für welche k ist a null, kommt also λk nicht in der Summe vor?" womit ich davon ausgehe dass das dann halt gemeint ist.

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λ⁰=1 und nicht weggeflogen! a₅₁₀≈2,8·10³⁰⁵. Dieser Summand bleibt also erhalten.       

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"kann "a" ja aber eigentlich dann nie 0 werden"

Das ist zutreffend.

Nein, das ist nicht zutreffend.

$$ a_k = 0\quad \forall k \in \mathbb Z \backslash\{-1020,-1018,...,-2,0,2,...,1018,1020\} $$

Bzw. allgemeiner

$$ a_k = \begin{cases} \begin{pmatrix}1020\\ 510 + \frac{k}{2}\end{pmatrix} & k \in \{-1020,-1018,..,1018,1020\} \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} $$

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Angeblich soll laut Musterlösung die Argumentation darauf hinaus laufen, dass a 0 wird wenn im Binomialkoeffizienten keine ganze Zahl mehr steht und das soll man angeblich mittels Umformung zeigen können? MattHaeMatician scheint mit der Definition das eigentlich erfasst zu haben, aber wie kann ich das mathematisch mit der Umformung zeigen? Wär mir jetzt ein Rätsel. Wird ja irgendwas mit dem Bruch zu tun haben wenn ich nach a explizit umstelle.

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@ MatHaeMatician:

Welcher der von mir angegebenen Koeffizienten ist Null?

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@Roland

In deiner Antwort wird kein Koeffizient Null.

Missverständlich ist dein Kommentar, in dem du schreibst, dass a nicht Null sein kann, aber nicht explizit erwähnst, dass die Exponenten gerade sein müssen.

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Habe ich mit meiner Erwähnung der ersten drei Summanden nicht schon angedeutet, wie es weitergehen soll?

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Deine Antwort ist ja auch nicht kritisiert worden, sondern der von MatHae zitierte Kommentar. Schließlich heißt es in der Aufgabe ja

Sei nun k eine beliebige, fixe, ganze Zahl.

Ob der Fragesteller erkennt, dass k aufgrund deiner Antwort nur gerade sein darf, weiß ich nicht.

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Aber ich weiß, dass diese kleinliche Diskussion den Fragesteller nur verwirren kann.

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Ich habe nur versucht zu klären. Wenn du das als "kleinliche Diskussion" abtust, finde ich das schon ziemlich eigenartig.

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Entschuldige bitte das Wort "kleinlich" und danke, dass du den Versuch der Klärung unternommen hast. Für den Fragesteller ist aber dadurch und besonders durch den Kommentar von MatHaeMatician nichts klarer geworden.

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Mein Kommentar beschreibt eindeutig wie \( a_k \) für eine beliebige ganze Zahl k aussieht.

Für welche k ist a null, kommt also λ^k nicht in der Summe vor?

Die Antwort ist: Für alle k ungleich -1020, ..., 1020

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Und das hilft dem Fragesteller?

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Angeblich soll laut Musterlösung die Argumentation darauf hinaus laufen, dass a 0 wird wenn im Binomialkoeffizienten keine ganze Zahl mehr steht und das soll man angeblich mittels Umformung zeigen können? MatHaeMatician scheint mit der Definition das eigentlich erfasst zu haben, aber wie kann ich das mathematisch mit der Umformung zeigen?

Offensichtlich hat der Fragesteller erkannt, dass mein Kommentar der gesuchten Lösung nahekommt. D.h. er kann diesen nun zusammen mit deiner Antwort als Anregung für die Lösung der Aufgabe verwenden.

Und das hilft dem Fragesteller?

Das will ich nicht beurteilen, aber ich hoffe schon.

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Ich klink mich mal ein: Ihr habt mir alle 3 geholfen. Besonders MontyPython mit dem Hinweis auf gerade/ungerade aber auch Roland und MatHaeMatician mit ihren Hinweisen. Ich versuch das alles mir jetzt zu erarbeiten das dass für mich auch deutlicher wird. Danke an euch allen für eure Hilfe und auch überhaupt fürs Zeit nehmen!

Answer 2

Guck dir einmal an, wie der ausmultiplizierte Term für kleine Exponenten z.B. 8 aussieht:

\( (x+1/x)^8\\ =x^{8}+8 x^{6}+28 x^{4}+56 x^{2}+70+\dfrac{56}{x^{2}}+\dfrac{28}{x^{4}}+\dfrac{8}{x^{6}}+\dfrac{1}{x^{8}} \\ =\binom 8 0 x^8 + \binom 8 1 x^6 + ... + \binom 87\cdot\dfrac{1}{x^6}+\binom 88\ \cdot\dfrac{1}{x^8} \)

Es fällt auf, dass die Potenzen mit ungeraden Exponenten wegfallen. Das ist auch logisch, da z.B. a^5*b^3=x^5*1/x^3=x^2 ergibt. Damit sind die Koeffizienten für ungerade Exponenten gleich Null.

Es gibt 8+1=9 Summanden. Die Exponenten verlaufen aber nicht von 0 bis 8, sondern in Zweierschritten von -8 bis +8.

Wenn n von 0 bis 8 geht, gilt für den n-ten Summanden:

\(\binom 8 n \cdot x^{8-n}\cdot \dfrac{1}{x^n}   =\binom 8n\cdot x^{8-2n}     \)

Die Exponenten haben also die Form k=8-2n, sind also gerade.

Damit ist n=(8-k)/2 und \(a_k=\binom {8}{(8-k)/2}\)

Wenn du nun überall die 8 durch 1020 ersetzt, hast du die Lösung deiner Aufgabe.

:-)

Comments

Ich erarbeite mir deine Lösung gerade. Die Frage die mir bleibt, ist lediglich ab wann den a null wird. Laut Musterlösung soll a null sein wenn im Binomialkoeffizienten keine ganze Zahl da ist. Das soll man mittels umformen zeigen können, ich probiers, falls du da aber einen Tipp hast sag ich nicht nein. Danke für deine Antwort ebenfalls!

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Laut Musterlösung soll a null sein wenn im Binomialkoeffizienten keine ganze Zahl da ist.

Das klingt für mich seltsam, da Binomialkoeffizienten nur für ganzzahlige Zahlenpaare definiert sind. Logischer erscheint mir, dass a gleich Null ist, wenn der Exponent ungerade ist.

Vielleicht ist es so gemeint, wie ich es in meiner Antwort geschrieben habe:

\(a_k=\binom {8}{(8-k)/2}\)

(8-k)/2 ist nur dann eine ganze Zahl, wenn k gerade ist.

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Verstehe. Ich werde das jetzt mal ausgiebig nacharbeiten! Vielen Dank für deine Hilfe!

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Eine Frage noch: Du sagtest für ungerade ist es null. Mein Exponent startet statt mit 1020 mit 59 sagen wir mal. Dann fallen ja alle geraden weg, statt die ungeraden. Sprich, deine Logik dreht sich dann um oder?

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Die Logik bleibt gleich. :-)

Aber du hast recht. Wenn der Exponent ungerade ist, fallen alle geraden weg.

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Wie kann ich das dann aber logisch argumentieren? Weil du schreibst a^5*b^3 = ungerade fallen weg. Aber wie kommst du auf a^5*b^3? Laut Binom. Lehrsatz gilt ja (a+b)^n.

Sprich: Wie argumentiere ich, dass im Falle von 59 die geraden Exponenten wegfallen. ICh weiß, irgendwie scheint das trivial zu sein, weil man kaum dazu etwas findet, aber ich steh gerade sowas von auf dem Schlauch.

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Hat sich erledifgt. Habs rausgefunden.