Umkehrfunktion von e Funktionen bilden

Question

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Bilden Sie die Umkehrfunktion der Funktion \( f: D_{f} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
$$ f(x)=\frac{\mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}^{2}} $$
Auflösung \( y=f(x) \) nach \( x \) :
$$ \begin{aligned} y &=\frac{\mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}^{2}} \\ y &=\mathrm{e}^{2 x-2}+1 \\ y-1 &=\mathrm{e}^{2 x-2} \\ \ln (y-1) &=2 x-2 \\ \ln (y-1)+2 &=2 x \\ \frac{1}{2}(\ln (y-1)+2) &=x \\ \ln (\sqrt{y-1})+1 &=x \end{aligned} $$

Ich habe hier 2 Fragen wie haben Sie denn Bruch aufgelöst ? und woher kommt (In der zweiten Zeile) die +1

Und nebenbei wollte ich Fragen ob hier jemand Nachilfe bietet bis Sonntag ?

Answer 1

Auflösung \( y=f(x) \) nach \( x \) :
$$ \begin{aligned} y &=\frac{\mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}^{2}} \\  y &=\green{\frac{\mathrm{e}^{2 x}}{\mathrm{e}^{2}}+\frac{\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}^{2}}} \\ y &=\mathrm{e}^{2 x-2}+1 \\ y-1&=\mathrm{e}^{2 x-2} \\ \ln (y-1) &=2 x-2 \\ \ln (y-1)+2 &=2 x \\ \frac{1}{2}(\ln (y-1)+2) &=x \\ \green{\frac{1}{2}\ln (y-1)+\frac12\cdot 2}&=x\\ \green{\ln (y-1)^{1/2}+1}&=x \\ \ln (\sqrt{y-1})+1 &=x \end{aligned}$$

:-)

Answer 2

wie haben Sie denn Bruch aufgelöst ?

Es gilt nun mal \( \frac{a+b}{c} \)=\( \frac{a}{c} \)+\( \frac{b}{c} \).

und woher kommt (In der zweiten Zeile) die +1

Was sollte \( \frac{e^2}{e^2} \) denn sonst ergeben?

Nebenbei bemerkt: Nach dem Entstehen von "+1" fragst du. Das Teilergebnis \(e^{2x-2}\) ist dir aber klar??