Spiegelung der Geraden bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei B = \( \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \) .

Wir betrachten die durch B gegebene symmetrische Bilinearform β auf R2, d.h. β(x, y) = x^tBy.
Sei q die zu β gehörige ”quadratische Form“
(1) Zeigen Sie, dass es eine Orthonormalbasis (bezüglich des Standardskalarprodukts) von R2 gibt, die aus Eigenvektoren von B besteht. Bestimmen Sie eine solche Basis v₁, v₂.
(2) Sei si die Spiegelung an der Geraden ⟨v_i⟩ (d.h. s_i(v_i) = v_i, s_i(v_3-i) = −v_3-i). Zeigen Sie, dass s_i(Q) = Q für i = 1, 2 gilt

Problem/Ansatz:

Bei 1) habe ich die zwei Vektoren bestimmt, und habe folgende erhalten: \( \frac{1}{53} \)* \( \begin{pmatrix} -48\\168\end{pmatrix} \)  ; \( \begin{pmatrix} \frac{-2√53}{53}\\\frac{7√53}{53} \end{pmatrix} \)

bei 2) weiß ich jetzt nicht ob ich die Vektoren aus 1) nutzen soll und wie ich genau da vorgehen soll. Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand hier helfen könnte. :)

Comments

Deine beiden Vektoren bei (1) sind nicht orthogonal. Ersterer hat nicht die Länge 1.

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Hallo,

Vielen Dank für den Tipp! Stimmt, da habe ich mich vertan. Der erste Vektor sollte so sein:\( \begin{pmatrix} \frac{7√53}{53}\\\frac{2√53}{53} \end{pmatrix} \)

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Hat keiner einen Tipp für mich? :/

Answer 1

Bestimme zunächst das charakteristische Polynom von \(B\).
Das lautet \(p_B(t)=t^2-11t+24=(t-3)(t-8)\).
Die Eigenwerte sind demnach \(\lambda_1=3\) und \(\lambda_2=8\).
Bestimme nun zu jedem dieser Eigenwerte einen Eigenvektor, z.B. \(w_1=(-1,2)^\top\) und \(w_2=(2,1)^\top\), und normiere sie. Die Vektoren \(v_1=\frac1{\sqrt5}(-1,2)^\top\) und \(v_2=\frac1{\sqrt5}(2,1)^\top\) bilden eine in (1) gesuchte Basis.

Comments

Hallo Arsinoe

deine Kommentare sind öfter gute antworten, warum schreibst du sie als Kommentare, dann bleibt die Frage offen und bemüht andere sie sich anzusehen.

Gruß lul