Extremwertaufgabe Aquarium mit minimaler Glasfläche

Question

Aufgabe:

Ein Aquarium (oben offen) mit einem Fassungsvermögen von 144l soll 40cm hoch sein. Welche Länge und welche Breite müssen gewählt werden, damit möglichst wenig Glas benötigt wird

Problem/Ansatz:

,
Ich kommt bei der obenen genannten Aufgabe irgendwie nicht weiter.

Ich habe mir die Extrembedingung und Nebenbedingung hergeleitet, komme aber mit der Ableitung total durcheinander.

Mein Ansatz Amin= 2x (V/y)*h + 3yh sollte doch richtig sein?

Vielen Dank für kurze Starthilfe

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Mein Ansatz Amin= 2x (V/y)*h + 3yh sollte doch richtig sein?

kann nicht richtig sein. $V/y$ ist eine Fläche mal der Höhe $h$ gibt ein Volumen. Dazu kann man schwerlich eine Fläche $(3yh)$ addieren und dann ist das Ergebnis wieder eine Fläche $A_{\min}$. Und woher kommt die $3$?

Answer 1

Hallo,

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Vielen Dank für die Hilfe :)

Answer 2

Hallo

A=x*y+2xh+2yh und xyh=V also x=V/(hy)

x einsetzen gibt nicht deine Formel. am besten für h und V gleich die gegebenen Zahlen einsetzen, dann wird das Differenzieren einfacher.

(bitte vermeide in Formeln x als Malzeichen, das irritiert.)

Gruß lul

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Dank für die schnelle Hilfe, hänge dann aber doch noch.

A= x*y+2xh+2yh // x=V/(hy)

Daraus folgt:
A= V/(hy)*y + 2V/(hy)*h+2yh

A=V/h + 2V/y + 2yh

Ab hier komm ich mit der Ableitung einfach nicht weiter
Ich hab hier auf meinem Blatt stehen:

A'= (y-288000-1)/y² +y

(Das kann doch gar nicht passen?)

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A'= (y-288000-1)/y² +y
(Das kann doch gar nicht passen?)

Stimmt, das kann nicht sein, schon gar nicht mit dieser '-1' in der Klammer. Besser ist:$$A= x\cdot y+2xh+2yh \quad |\,x=\frac{V}{hy}\\ A= \frac{V}{hy}\cdot y + 2\frac{V}{hy}\cdot h+2yh \\ \phantom{A}=\frac Vh + 2\frac Vy + 2yh \\ \frac{\partial A}{\partial y} = -2\frac{V}{y^2} + 2h \to 0\\ \implies y= \sqrt{\frac{V}{h}} = \sqrt{\frac{144\,\text{dm}^3}{ 4\,\text{dm}}} = 6\,\text{dm}$$

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Danke für eure schnelle und ausführliche Hilfe :)