Extremwertaufgabe Haupt- und Nebenbedingung Aquarium

Question

Seine Tante Hannelore möchte ihn bei seinem Vorhaben unterstützen, und schenkt ihm 4,80 m Winkelprofil aus korrosionsbeständigem Stahl, welches Dennis sehr gut für die Kanten seines Aquariums verwenden kann.

Dennis möchte, dass sein Aquarium die Form eines Quaders erhält, wobei sich die Grundseiten wie 2:3 verhalten sollen. Natürlich fühlen sich die Fische am wohlsten, wenn das Volumen des Aquariums möglichst groß wird.

Wie muss er die Abmessungen wählen, um dieses Ziel zu erreichen?

Welches Volumen hat sein Aquarium dann?

Problem/Ansatz:

Habe den Volumen formel mit a×b×c zum anwenden, nun weiß ich nicht welche Zahlen ich einsetzen soll, die Hb und Nb auch?

Kann mir bitte jemand dabei helfen

Answer 1

Wenn a und b die Länge und Breite der Grundfläche des Aquariums und c die Höhe ist und am oberen Rand keine Winkelprofile benötigt werden, weil offen, dann:

maximiere a ⋅ b ⋅ c = a ⋅ 2/3a ⋅ c

unter der Nebenbedingung 2a + 2b + 4c = 2a + 2⋅2/3a + 4c = 4,8   ∧   a > 0

Comments

Und die Kontrolllösung aus dem CAS dazu:

Answer 2

Da die Grundseiten sich wie 2:3 verhalten sollen, nenne sie 3x und 2x.

Dann ist 2(3x+2x+2h)=4,8 oder 3x+2x+2h=2,4 oder h=(2,4-5x)/2

Zielfunktion V(x)=3x·2x·(2,4-5x)/2 oder V(x)=15x³-7,2x².

Nullstellen der Ableitung auf Maximum untersuchen.

Comments

V(x)=15x³+7,2x² ... Nullstellen der Ableitung auf Maximum untersuchen.

Die Ableitung hat keine positiven Nullstellen.

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Dankeschön versuche es zu rechnen ️

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3x+2x+2h=2,4 oder h=(2,4+5x)/2

$$h= (2,4{\color{red}-}5x)/2 \implies V = 15x^3-7,2x^2$$