wie Berechnet man die Ableitung von g.

Question

Sei f : R → R eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft f `(x) = f(x) fur alle ¨ x ∈ R.

Es sei g : R → R definiert durch g(x) = f(x) exp(−x).wie Berechnet man die Ableitung von g.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Ableitung können wir mittels der Produktregel bilden:

$$g'(x)=\left(\underbrace{f(x)}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-x}}_{=v}\right)'=\underbrace{f'(x)}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{-x}}_{=v}+\underbrace{f(x)}_{=u}\cdot\underbrace{\left(-e^{-x}\right)}_{=v'}=\left(\;f'(x)-f(x)\;\right)\cdot e^{-x}$$Da wir aber wissen, dass \(f'(x)=f(x)\) ist, wird die Klammer zu null, sodass die ganze Ableitung zu null wird:$$g'(x)=\underbrace{\left(\;f'(x)-f(x)\;\right)}_{=0}\cdot e^{-x}=0$$

Comments

Eigentlich war schon alles wesentliche gesagt, nur noch nicht von jedem. Außerdem ist

Es gibt genau eine Funktion, die mit ihrer Ableitung identisch ist, nämlich \(f(x)=e^x\)

schlicht Unsinn.

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Hallo,

\( f(x)=a e^{x+b} \\ \Rightarrow f'(x)=a e^{x+b} \)

:-)

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Ah, ich habt Recht, ich habe die Forderung \(f(0)=1\) unterschlagen:

Die Exponentialfunktion \(f(x)=e^x\) ist die eindeutig(!) bestimmte Lösung der Differentialgleichung \(f'(x)=f(x)\) \(\underline{\text{mit dem Anfangswert \(f(0)=1\)}}\).

Danke für den Hinweis, ich nehme den Teil am besten aus der Antwort raus, wird für das Verständnis der Lösung nicht unbedingt benötigt.

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Ja, und wenn du das AWP einfach ignorierst, dann hat die DGL f'(x)=f(x) aus der Frage oben die allgemeine Lösung f(x)=C*exp(x) für alle reellen Konstanten C. Setzt man das in g(x)=f(x)*exp(-x) ein, so ergibt sich nach kurzer Rechnung g(x)=C. Danach war zwar nicht gefragt, aber jetzt ist klar, warum g'(x)=0 sein muss.

Answer 2

Der Funktionsterm von g ist ein Produkt. Deshalb berechnet man die Ableitung von g mit der Produktregel.

Answer 3

g'(x) = f'(x)*e^-x + f(x)*(-1)*e^-x = e^-x*(f '(x)- f(x))

Answer 4

g(x) = f(x)*exp(−x)

g'(x) = (f'(x)-f(x))*exp(−x)

Bis hierhin wurde nur ausgenutzt, dass f differenzierbar ist. Jetzt kann man noch f'(x)=f(x) verwenden, um zu sehen, wie g' aussieht und wie g beschaffen sein muss.