Warum ist diese Funktion nicht stetig?

Question

\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \quad f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x_{1} \cdot x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} & \text { falls }\left(x_{1}, x_{2}\right)=(0,0) \\ 0 & \text { sont }\end{array}\right. \)

Zeigen Sie, dass die Funktion in (0,0) nicht stetig ist.

Comments

Falls die Funktion wirklich so definiert ist, wie es da steht, dann ist sie im Nullpunkt einfach gar nicht definiert, weil dann  f(0,0) = (0·0) / (0² + 0²) = 0 / 0  einfach gar nicht definiert wäre.

Ich vermute aber einen (ziemlich katastrophalen) Schreibfehler in der Aufgabenstellung.

Answer 1

Es ist \(f\big(\frac1n,\frac1n\big)=\frac12\) für alle \(n\in\mathbb N\). Wegen \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac1n=0\)  und  \(f(0,0)=0\) ist \(f\) in \((0,0)\)  also nicht stetig.

Comments

Warum hast du genau 1/n gewählt?

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Weil das die wohl einfachste Nullfolge ist, mit der die Aussage gezeigt werden kann.
Es klappt aber auch mit \(\frac1{n^2}\)  oder \(\frac2n\)  oder auch mit unterschiedlichen Nullfolgen für \(x\) und \(y\).